§ 22. Путь, пройденный при равнопеременном движении.

Воспользуемся графическим способом нахождения пройденного пути для случая равноускоренного движения. Пусть график скорости равноускоренного движения изображен прямой  (рис. 36). Путь, пройденный за время , численно равен площади трапеции :

Рис. 36. Графическое нахождение формулы пути, пройденного при равноускоренном движении

Но  (начальная скорость),  (скорость в момент  при ускорении ). Значит,

              (22.1)

Эта формула справедлива как для равноускоренного, так и для равнозамедленного движения; в первом случае  и  одинаковы по знаку, а во втором — противоположны.

Для движения с начальной скоростью, равной нулю, на графике вместо трапеции получается прямоугольный треугольник  с катетами  и , так что площадь, выражающая пройденный путь, оказывается равной

                (22.2)

Эту формулу можно было бы получить и непосредственно из предыдущей формулы, полагая .

На рис. 37 дан график пути равноускоренного движения с начальной скоростью, равной нулю. График построен по формуле (22.2) для значения . Он изображается кривой линией, поднимающейся вверх все круче и круче. Расстояния точек графика от оси времени пропорциональны квадратам расстояний от оси пути. Такая кривая называется параболой.

Рис. 37. График пути при равноускоренном движении

Из формулы (22.2) видно, что при начальной скорости, равной нулю, путь, пройденный при равноускоренном движении за первую секунду движения () численно равен половине ускорения. Если известен путь, пройденный без начальной скорости за время , то ускорение можно найти по формуле

      (22.3)

Если начальная скорость  равна нулю, можно выразить путь , пройденный к моменту , через скорость и в этот момент или скорость — через пройденный путь. Действительно, в этом случае  и . Исключая из этих выражений , найдем

    (22.4)

       (22.5)

Наконец, зная пройденный путь и ускорение, можно, воспользовавшись формулой (22.2), найти время движения:

            (22.6)

22.1. Напишите формулы, аналогичные (22.4) и (22.5), для случая начальной скорости , не равной нулю.

22.2. Покажите, пользуясь формулой (22.1), что для равноускоренного движения пути, проходимые точкой за любые равные промежутки времени, следующие друг за другом, получают одинаковое приращение.

22.3. Покажите, пользуясь формулой (22.2), что для равноускоренного движения без начальной скорости приращения пути за любые равные промежутки времени, следующие друг за другом, равны двойному пути, проходимому точкой за первый такой промежуток времени.

22.4. Электровоз подходит по горизонтальному пути к уклону, имея скорость 8 м/с, затем движется по уклону вниз с ускорением 0,2 м/с2. Определите длину уклона, если электровоз проходит его за 30 с.

22.5. Электровоз начинает двигаться равноускоренно в тот момент, когда с ним поравнялся мальчик, бегущий равномерно со скоростью 2 м/с. Определите скорость электровоза в тот момент, когда он догонит мальчика.

22.6. Автомобиль, пройдя с постоянным ускорением некоторое расстояние от остановки, достиг скорости 20 м/с. Какова была его скорость на половине этого расстояния?

22.7. Какой путь прошло тело за время, в течение которого скорость его увеличилась с 4 до 12 м/с, если ускорение равно 2 м/с2?