§ 23. Векторы.

До сих пор мы рассматривали только движение точки по заданной прямой. В этом случае для того, чтобы найти перемещение точки, достаточно знать начальное положение точки, направление движения и пройденный точкой путь. Точно так же, зная начальное положение точки, числовое значение скорости и ее знак, мы могли ответить на вопрос, где будет точка через одну секунду, через две секунды и т. д.

Но если точка движется не по прямой, то этих данных уже недостаточно. Проследим по карте за движением самолета (летящего на неизменной высоте). Пусть, например, самолет переместился из положения А в положение В (рис. 38). Отрезок АВ — перемещение самолета. Зная прежнее положение тела и перемещение, можно найти новое положение тела. Однако, в отличие от случая движения по прямой, для этого теперь нужно знать не только длину отрезка АВ, но и направление в пространстве, в котором это перемещение произошло. При другом направлении перемещения, даже при той же его длине, самолет оказался бы в другой точке (например, в точке М, отстоящей от А на таком же расстоянии, что и точка В). Значит, перемещение характеризуется не только числовым значением, но и направлением в пространстве.

Точно так же скорости и ускорения тел нужно характеризовать не только числовыми значениями, но и направлениями в пространстве. В физике часто приходится встречаться с величинами, которые, как и перемещение, скорость или ускорение, характеризуются не только числовым значением, но и направлением в пространстве. Мы увидим, что таковы силы взаимодействия между телами, напряженность электрического поля и т. д.

Рис. 38. Перемещения, не лежащие на одной прямой. Сложение перемещений

Величины, которые характеризуются числовым значением и направлением в пространстве, называются векторами. Таким образом, перемещение, скорость и ускорение — векторы.

Числовое значение вектора называется модулем. Модуль вектора всегда положительный. На чертежах вектор изображают в виде прямолинейного отрезка со стрелкой на конце. Длина отрезка определяет в заданном масштабе модуль вектора, а стрелка указывает направление вектора. Векторы обозначают либо буквой жирного шрифта , либо буквой обычного шрифта со стрелкой над ней , либо, наконец, двумя буквами со стрелкой над ними , причем первая буква обозначает начало, а вторая — конец отрезка, изображающего вектор. Модули векторов обозначаются теми же буквами, что и векторы, но обычного шрифта и без стрелок , либо с помощью символа вектора, помещенного между вертикальными черточками .

В отличие от векторов, величины, которые характеризуются числовым значением, но которым нельзя приписать направления в пространстве, называют скалярными величинами или скалярами. Скалярами являются время, плотность вещества, объем тела, температура, расстояние (но не перемещение!) и т. д. Скалярные величины равны друг другу, если совпадают по числовому значению. Векторные величины равны друг другу, если совпадают по модулю и по направлению.

Представим себе, что тело совершило одно за другим два перемещения; например, самолет пролетел сначала по пути, изображаемому вектором , а затем по пути, изображаемому вектором  (рис. 38). Результирующее перемещение изобразится вектором .

Рис. 39. Сложение двух векторов: а) по правилу треугольника; б) по правилу параллелограмма

Его называют суммой данных перемещений. Мы видим, что сумма двух перемещений получается как сторона треугольника, в котором две другие стороны образованы слагаемыми перемещениями. Такое правило сложения называют векторным сложением или сложением по правилу треугольника (рис. 39, а). Отсюда следует, что модуль суммы двух векторов в общем случае не равен сумме модулей слагаемых векторов: модуль суммы лежит между суммой и разностью модулей слагаемых векторов. Только если слагаемые векторы расположены на одной прямой, модуль суммы равен сумме модулей слагаемых векторов (если они обращены в одну сторону) или абсолютному значению их разности (если векторы обращены навстречу друг другу).

Векторное сложение можно производить также по правилу параллелограмма, равносильному правилу треугольника: при построении параллелограмма оба слагаемых вектора откладываются из одной точки и служат сторонами параллелограмма. Тогда диагональ параллелограмма, проведенная из той же точки, дает результирующий вектор (рис. 39, б).

Векторам противоположного направления приписывают противоположные знаки. На рис. 40 векторы, равные по модулю и противоположные по направлению, различаются только знаком: .

Аналогично сложению векторов можно определить и их вычитание: вычесть вектор — значит прибавить вектор противоположного направления. В параллелограмме одна из диагоналей есть сумма векторов, изображаемых его сторонами, вторая диагональ есть их разность (рис. 43).

Рис. 40. Векторы различаются только знаком:

Рис. 41. Векторное вычитание:

Рис. 42. Умножение вектора на число

Если складывают более чем два вектора (например, если тело совершает более чем два последовательных перемещения), то сумма векторов (суммарное перемещение) получится путем последовательного прибавления к первому вектору второго, к их сумме — третьего и т. д. Если данное перемещение повторяется два, три и т. д. раз, то получающееся перемещение имеет то же направление, что и вектор однократного перемещения, а по модулю в два, три и т. д. раза больше однократного перемещения. Таким образом можно ввести умножение вектора на число (на скаляр): вектор, умноженный на число (на скаляр) есть вектор того же направления, если число (т. е. скаляр) положительно, и противоположного направления, если число (скаляр) отрицательно; модуль результирующего вектора равен модулю исходного вектора, умноженному на абсолютное значение числа (скаляра). На рис. 42 изображены векторы  и .

23.1. Докажите, что по отношению к перемещениям справедливы законы: переместительный , сочетательный  и распределительный для умножения на число .