§ 24. Разложение вектора на составляющие.Любой вектор можно представить как сумму нескольких векторов. Например, перемещение тела можно представить как результат нескольких последовательных перемещений, переводящих тело из того же начального в то же конечное положение. Замену одного вектора векторной суммой нескольких других называют разложением вектора на составляющие. Составляющие вектора, конечно, тоже векторы. Разложение вектора на составляющие можно произвести бесконечным числом способов. Можно, например, разложить вектор по двум данным направлениям. Тогда разлагаемый вектор будет служить диагональю параллелограмма, а с заданными направлениями составляющих совпадут стороны параллелограмма (рис. 43). Рис. 43. Разложение скорости самолета, набирающего высоту, на вертикальную и горизонтальную составляющие Если задать направление только одной составляющей, то задача о разложении вектора не будет иметь определенного ответа; на рис. 44 мы видим, что можно построить сколько угодно параллелограммов с заданной диагональю (разлагаемый вектор) и заданным направлением одной стороны (направление одной из составляющих). Рис. 44. Разложение вектора Задача: 24.1. Самолет должен приземлиться в пункте А, лежащем в 300 км к юго-западу от аэродрома вылета, но предварительно он должен сбросить вымпел над аэродромом В, лежащим в 400 км к юго-востоку от аэродрома вылета, Чему равен модуль перемещения Чаще всего производят разложение векторов по направлениям осей какой-либо прямоугольной системы координат (рис. 45, а). На рис. 45, б изображен вектор Рис. 45. а) Пример разложения вектора на составляющие, параллельные координатным осям. б) и в) Проекции вектора на координатные оси Для вектора, изображенного на рис. 45, б, Дадим еще одно определение проекции вектора. На рис. 45, в показаны векторы Из рис. 45, в видно, что длина отрезка Таким образом, независимо от того, какой угол образует направление вектора с направлением оси
Если Рис. 46. Проектирование движения точки М на оси координат Очевидно, что модуль и направление вектора (а следовательно, и сам вектор) полностью определяются заданием проекций вектора на координатные оси. В частности, для векторов, лежащих в плоскости Пусть какая-либо точка движется по прямой. Выберем какую-нибудь систему координат Можно показать, что проекция скорости точки равна скорости движения ее проекции. Точно так же можно показать, что при неравномерном движении точки по прямой проекции ее мгновенной скорости и ускорения равны мгновенным скоростям и ускорениям ее проекций. Обратно, если известны перемещения, скорости или ускорения проекций движущейся точки на оси координат, то можно найти перемещение, скорость или ускорение, складывая получившиеся составляющие искомого вектора по правилу параллелограмма. Таким образом, вместо того чтобы рассматривать движение точки в произвольном направлении, мы всегда можем рассматривать движение только вдоль определенных прямых — осей координат. В ряде случаев выбор осей подсказывается самими условиями задачи. Например, изучая движение брошенного тела, удобно выбрать ось координат по вертикали и но горизонтали.
|