§ 24. Разложение вектора на составляющие.

Любой вектор можно представить как сумму нескольких векторов. Например, перемещение тела можно представить как результат нескольких последовательных перемещений, переводящих тело из того же начального в то же конечное положение. Замену одного вектора векторной суммой нескольких других называют разложением вектора на составляющие. Составляющие вектора, конечно, тоже векторы. Разложение вектора на составляющие можно произвести бесконечным числом способов. Можно, например, разложить вектор по двум данным направлениям. Тогда разлагаемый вектор будет служить диагональю параллелограмма, а с заданными направлениями составляющих совпадут стороны параллелограмма (рис. 43).

Рис. 43. Разложение скорости самолета, набирающего высоту, на вертикальную и горизонтальную составляющие

Если задать направление только одной составляющей, то задача о разложении вектора не будет иметь определенного ответа; на рис. 44 мы видим, что можно построить сколько угодно параллелограммов с заданной диагональю (разлагаемый вектор) и заданным направлением одной стороны (направление одной из составляющих).

Рис. 44. Разложение вектора , в котором задано только направление  одной составляющей. Вектор  может быть представлен как суммы векторов  и ,  и ,  и  и т. д.

Задача: 24.1. Самолет должен приземлиться в пункте А, лежащем в 300 км к юго-западу от аэродрома вылета, но предварительно он должен сбросить вымпел над аэродромом В, лежащим в 400 км к юго-востоку от аэродрома вылета, Чему равен модуль перемещения ?

Чаще всего производят разложение векторов по направлениям осей какой-либо прямоугольной системы координат (рис. 45, а). На рис. 45, б изображен вектор  (он же ). Проведем из точек А и В перпендикуляры к осям  и.Точка пересечения перпендикуляра с осью называется проекцией соответствующей точки (A или В) на данную ось ( или ). На рисунке указаны координаты этих проекций. Разность  обозначается  и называется проекцией вектора  на ось ; аналогично, разность  обозначается  и называется проекцией вектора  на ось . Проекции называют также компонентами вектора по координатным осям ( — компонента вектора  по оси  и т. д.). Проекции (компоненты) являются скалярами.

Рис. 45. а) Пример разложения вектора на составляющие, параллельные координатным осям. б) и в) Проекции вектора на координатные оси

Для вектора, изображенного на рис. 45, б, ,  вследствие чего проекция на ось  отрицательна ; поскольку , проекция на ось  положительна . На рис. 45, б показаны длины отрезков, заключенных между проекциями на ось начала и конца вектора. Эти длины должны выражаться положительными числами.  Поэтому значение длины отрезка между проекциями точек А и В на ось  указано в виде  (само ). Отметим, что проекция вектора , изображенного на рис. 45, в, положительна, а проекция вектора  отрицательна.

Дадим еще одно определение проекции вектора. На рис. 45, в показаны векторы  и  и их проекции на произвольную ось . Проекция вектора  (т. е. ) равна длине отрезка , взятой со знаком плюс (так как ); проекция вектора  (т. е. ) равна длине отрезка , взятой со знаком минус (так как ). Напомним, что на рисунке проставлена длина отрезка , которая выражается положительным числом, равным .

Из рис. 45, в видно, что длина отрезка  (т. е. ) равна длине отрезка, изображающего вектор  (т. е. модулю вектора ), умноженной на косинус угла  между направлением оси  и направлением вектора. Следовательно, . Длина отрезка  равна длине отрезка, изображающего вектор  (т. е. модулю вектора ), умноженной на косинус угла . Проекция вектора  равна этой длине, взятой со знаком минус. Следовательно, .

Таким образом, независимо от того, какой угол образует направление вектора с направлением оси , проекция вектора на ось определяется формулой

.                (24.1)

Если , то , если , то . При  проекция вектора равна нулю.

Рис. 46. Проектирование движения точки М на оси координат

Очевидно, что модуль и направление вектора (а следовательно, и сам вектор) полностью определяются заданием проекций вектора на координатные оси. В частности, для векторов, лежащих в плоскости , модуль определяется формулой . «Длины» и знаки проекций определяют направление вектора.

Пусть какая-либо точка движется по прямой. Выберем какую-нибудь систему координат  и спроектируем движущуюся точку на оси координат (рис. 46). На рисунке показаны проекции  и  точки, занимающей в данный момент положение . При движении точки будут двигаться и ее проекции. Если точка  совершила перемещение , то за то же время ее проекции совершили перемещения ,  по соответственным осям. Из построения видно, что проекции перемещения движущейся точки  равны перемещениям ее проекций  и  по осям координат. Если точка двигалась равномерно, то проекции также двигались равномерно. Разделив перемещения точки и ее проекций на время  движения точки, найдем скорости  и  точки  и ее проекций  и .

Можно показать, что проекция скорости точки равна скорости движения ее проекции. Точно так же можно показать, что при неравномерном движении точки по прямой проекции ее мгновенной скорости и ускорения равны мгновенным скоростям и ускорениям ее проекций. Обратно, если известны перемещения, скорости или ускорения проекций движущейся точки на оси координат, то можно найти перемещение, скорость или ускорение, складывая получившиеся составляющие искомого вектора по правилу параллелограмма.

Таким образом, вместо того чтобы рассматривать движение точки в произвольном направлении, мы всегда можем рассматривать движение только вдоль определенных прямых — осей координат. В ряде случаев выбор осей подсказывается самими условиями задачи. Например, изучая движение брошенного тела, удобно выбрать ось координат по вертикали и но горизонтали.