§ 51. Применения закона сохранения импульса.

Применим закон сохранения импульса к задаче об отдаче пушки. Вначале, до выстрела, как пушка (массы ), так и снаряд (массы ) покоятся. Значит, суммарный импульс системы пушка— снаряд равен нулю (в формуле (50.1) можно положить равными нулю скорости  и ). После выстрела пушка и снаряд получат скорости  и  соответственно. Суммарный импульс после выстрела также должен равняться нулю, согласно закону сохранения импульса. Таким образом, непосредственно после выстрела будет выполнено равенство

   или    

откуда следует, что пушка получит скорость, во столько раз меньшую скорости снаряда, во сколько раз масса пушки больше массы снаряда; знак минус указывает на противоположность направлений скоростей пушки и снаряда. Этот результат был уже нами получен другим способом в § 48.

Мы видим, что задачу удалось решить, не выясняя даже, какие силы и в течение какого времени действовали на тела системы; эти сведения были бы нужны, если бы мы вычисляли скорость пушки при помощи второго закона Ньютона. В закон сохранения импульса силы вообще не входят. Это обстоятельство позволяет решать простым способом многие задачи, в основном такие, где мы интересуемся не процессом взаимодействия тел системы, а только окончательным результатом этого взаимодействия, как в примере с выстрелом из пушки. Конечно, если силы неизвестны, то должны быть заданы какие-то другие величины, относящиеся к движению. В данном примере, для того чтобы можно было определить скорость пушки, надо было знать скорость снаряда после выстрела.

Если измерено время взаимодействия пушки со снарядом, то можно найти среднюю силу, действовавшую на снаряд. Если это время равнялось , то средняя сила была равна . Такая же по модулю средняя сила (но противоположно направленная) действовала и на пушку.

Рассмотрим еще одну очень важную задачу, которую также можно решить, пользуясь законом сохранения импульса. Это — задача о неупругом соударении двух тел, т. е. о случае, когда тела после соударения движутся с одной и той же скоростью, как это происходит, например, при соударении двух комков мягкой глины, которые, столкнувшись, слипаются и продолжают движение совместно.

Рис. 74. Сложение импульсов при неупругом соударении двух тел

Пусть тело массы  имело до соударения скорость , а тело массы  имело до соударения скорость . Пусть внешние силы отсутствуют. После соударения оба тела будут двигаться вместе с некоторой скоростью , которую и требуется найти. Суммарный импульс тел легко найти путем векторного сложения, как это показано на рис. 74. Слагаемые векторы — импульсы каждого из тел до соударения. Искомая же скорость получится путем деления суммарного импульса тел на их суммарную массу:

                         (51.1)

Если до соударения тела двигались по одной прямой, то после соударения они будут двигаться по той же прямой. Примем эту прямую за ось  и спроектируем скорости на эту ось. Тогда формула (51.1) превратится в скалярную формулу:

                    (51.2)

Каждая из проекций в этой формуле равна модулю соответствующего вектора, взятому со знаком плюс, если вектор направлен по оси , и со знаком минус, если направление вектора противоположно направлению оси  (ср. с формулой (49.3)).

51.1. Человек массы 60 кг, бегущий вдоль рельсов со скоростью 6 м/с, впрыгивает на неподвижно стоящую на рельсах тележку массы 30 кг и останавливается на тележке. С какой скоростью тележка начнет катиться по рельсам?