§ 20. Работа при перемещении заряда в электрическом поле.

На всякий заряд, находящийся в электрическом поле, действует сила, и поэтому при движении заряда в поле совершается определенная работа. Эта работа зависит от напряженности поля в разных точках и от перемещения заряда. Но если заряд описывает замкнутую кривую, т. е. возвращается в исходное положение, то совершаемая при этом работа равна нулю, как бы ни было сложно поле и по какой бы прихотливой кривой ни происходило движение заряда.

Это важное свойство электрического поля нужно несколько пояснить. Для этого рассмотрим сначала движение тела в поле силы тяжести. Работа, как мы знаем (см. том I), равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между ними: . Если этот угол острый (), то работа положительна, если же угол тупой (), то работа отрицательна. В первом случае мы получаем работу за счет действия силы , во втором – затрачиваем работу на преодоление этой силы. Представим себе, что в поле земного притяжения, т. е. в пространстве вблизи земной поверхности, где действует гравитационная сила притяжения к Земле, перемещается какое-нибудь тело.

Мы предполагаем, что при этом перемещении нет трения, так что тело не испытывает изменений состояния, которые могут сопровождаться изменениями его внутренней энергии: тело не нагревается, не распадается на части, не изменяет своего агрегатного состояния, не испытывает пластической деформации и т. д. В таком случае всякое перемещение тела в поле силы тяжести может сопровождаться лишь изменением потенциальной и кинетической энергии. Если тело опускается, то потенциальная энергия системы Земля-тело уменьшается, а кинетическая энергия тела соответственно увеличивается; наоборот, при подъеме тела происходит возрастание потенциальной энергии и одновременно уменьшение кинетической энергии. При этом полная механическая энергия, т. е. сумма потенциальной и кинетической, остается постоянной (см. том I). Как бы ни был сложен путь тела в поле силы тяжести (подъем и опускание по вертикальной, наклонной или криволинейной траектории, передвижение по горизонтальному направлению), но если в конце концов тело приходит в исходную точку, т. е. описывает замкнутый путь, то система Земля-тело возвращается в исходное положение и имеет ту же самую энергию, какой она обладала до начала перемещения тела. Это означает, что сумма положительных работ, совершенных силой тяжести при опускании тела, равна по модулю сумме отрицательных работ, совершенных силой тяжести на участках пути, соответствующих подъему тела. Поэтому алгебраическая сумма всех работ, совершаемых силой тяжести на отдельных участках пути, т. е. полная работа на замкнутом пути, равна нулю.

Из изложенного ясно, что наш вывод справедлив лишь в том случае, если в процессе участвовала лишь сила тяжести и отсутствовала сила трения и всевозможные другие силы, могущие вызвать указанные выше изменения внутренней энергии. Таким образом, силы гравитационного поля, в отличие от многих других сил, например сил трения, обладают свойством, которое мы можем сформулировать так: работа, совершаемая гравитационными силами при перемещении тела по замкнутому пути, равна нулю. Нетрудно видеть, что это свойство гравитационных сил является выражением закона сохранения (консервации) полной механической энергии. В связи с этим силовые поля, которые обладают указанным свойством, называют консервативными.

Подобно гравитационному полю, электрическое поле, создаваемое покоящимися электрическими зарядами, также является консервативным. Когда в нем перемещается заряд, то на тех участках пути, где направление перемещения составляет с направлением силы острый угол (например, в точке  на рис. 38), работа, совершаемая силами поля, положительна. Напротив, там, где направление перемещения составляет с направлением силы тупой угол (в точке ), работа сил электрического поля отрицательна. Когда заряд, пройдя по замкнутому пути, вернется в исходную точку, полная работа электрических сил на этом пути, представляющая собой алгебраическую сумму положительных работ на одних участках и отрицательных на других, равна нулю.

Рис. 38. К доказательству независимости работы сил электрического поля от формы пути

Строгое математическое доказательство консервативности электрического поля в общем случае довольно сложно, и мы ограничимся поэтому доказательством этого свойства поля для простейшего случая – поля, создаваемого одним точечным зарядом.

Пусть в электрическом поле неподвижного точечного заряда  другой заряд  движется вдоль произвольной замкнутой кривой 1-2-3-4-5-6-1 (рис. 38) и после обхода вдоль кривой возвращается в исходную точку 1. Для подсчета совершаемой при этом работы проведем мысленно ряд сфер с центром в заряде , которые разобьют весь путь заряда  на малые отрезки, и рассмотрим два отрезка  и , лежащие между одними и теми же сферами (между точками 2 и 3, 5 и 6). Если отрезки  и  достаточно малы, то можно считать, что сила, действующая на заряд , всех точках каждого из отрезков постоянна. Так как оба отрезка находятся на равных расстояниях от заряда , то, согласно закону Кулона, силы взаимодействия зарядов на обоих отрезках одинаковы по модулю, но отличаются направлением, образуя разные углы  и  с направлением перемещения. Наконец, при достаточной малости  и  эти отрезки можно считать прямолинейными. Поэтому работа , совершаемая электрическими силами на пути 2-3, будет равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между направлениями силы и перемещения, т. е.

.

Точно так же работа , совершаемая на пути 5-6, равна

.

Но , так что . Кроме того, из чертежа видно, что

,

где  – расстояние между сферами, заключающими отрезки  и . Поэтому мы находим, что

,

т. е. что алгебраическая сумма работ на отрезках 2-3 и 5-6 равна нулю. Такой же результат мы получим и для любой другой пары соответствующих отрезков пути, заключенных между другими сферами. Поэтому и полная работа при обходе по замкнутому контуру, равная сумме работ на отдельных отрезках, тоже будет равна нулю.

Мы получили результат для случая электрического поля одного точечного заряда. Он оказывается справедливым для любого электростатического поля, т. е. поля, созданного неподвижными зарядами, так как поле, создаваемое любым распределением заряда, можно свести к полю совокупности точечных зарядов.

Итак, в электрическом поле работа при перемещении заряда по замкнутому контуру всегда равна нулю.

Так как работа на пути 1-2-3-4-5-6-1 равна нулю, то, следовательно, работа на пути 1-2-3-4 равна по модулю и противоположна по знаку работе на пути 4-5-6-1. Но работа при перемещении заряда на пути 4-5-6-1 равна но модулю и противоположна по знаку работе при перемещении того же заряда во встречном направлении, т. е. по пути 1-6-5-4. Отсюда следует, что работа на пути 1-2-3-4 (рис. 38) имеет тот же модуль и знак, что и работа на пути 1-6-5-4. Так как выбранный криволинейный контур совершенно произволен, то полученный результат можно выразить еще и так: работа, совершаемая электрическими силами при перемещении заряда между двумя точками в электрическом поле, не зависит от формы пути. Она определяется только положением начальной и конечной точек пути.

20.1. Укажите по возможности больше черт сходства и различия между электрическим и гравитационным полями.