§ 23. В чем смысл введения разности потенциалов?

В § 21 мы ввели новую величину – разность потенциалов. Для чего же служит эта величина и в чем заключается ее польза?

Зная разность потенциалов для всех точек поля, т. е. имея график эквипотенциальных поверхностей, можно просто определить и напряженность этого поля. Действительно, пусть 1, 2,3,4,5 (рис. 41) – эквипотенциальные поверхности. Они в каждой точке перпендикулярны к линиям поля (§ 22), и поэтому, прочерчивая линии , перпендикулярные к эквипотенциальным поверхностям, мы сразу находим линии данного поля, т. е. определим направление поля в каждой точке. Указанное на рис. 41 направление линий  соответствует случаю, когда при переходе от поверхности 1 к поверхности 2 и т. д. потенциал убывает.

Рис. 41. Построение линий поля по эквипотенциальным поверхностям 1-5

Для того чтобы найти напряженность поля в точке , лежащей на эквипотенциальной поверхности 1-1, перенесем мысленно положительный заряд  из точки  вдоль линии поля в соседнюю точку , лежащую на эквипотенциальной поверхности 2-2. Пусть разность потенциалов между поверхностями 1 и 2 равна , а длина отрезка  (т.е. расстояние между этими поверхностями) равна . Тогда работа, совершаемая электрическими силами при этом перемещении, согласно формуле (21.1), равна . С другой стороны, эта же работа равна произведению силы  на перемещение , т. е. равна , так как направление перемещения и направление силы в этом случае все время совпадают. Но, согласно формуле (14.1), . Поэтому искомая работа есть

,

отсюда

.                    (23.1)

Если напряженность поля в разных точках отрезка  различна, то формула (23.1) определяет среднюю напряженность поля на отрезке . Для получения истинной напряженности в данной точке надо выбирать  достаточно малым.

Величина  представляет собой разность потенциалов между концами линии поля, приходящаяся на единицу длины линии поля, или, как еще принято говорить, напряжение на единицу длины линии поля. Мы видим, что напряженность в каком-либо месте поля равна напряжению на единицу длины линии поля.

С другой стороны, если эквипотенциальные поверхности прочерчены через 1 В, то в формуле (23.1)  В и , т.е. напряженность поля обратно пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными поверхностями. Другими словами, чем теснее расположены эквипотенциальные поверхности, тем больше напряженность поля в данном месте.

Из формулы (23.1) следует, что для поля, напряженность которого равна единице, напряжение на единице длины равно единице. В соответствии с этим единица напряженности электрического поля в СИ получила название вольт на метр (В/м).

Мы видим, что, зная разность потенциалов между любыми двумя точками поля (или, как иногда говорят, зная распределение потенциала поля), мы можем определить в каждой точке поля и напряженность электрического поля, т. е. найти силы, действующие на заряды в этом поле.

 

23.1. Две параллельные плоские пластины, находящиеся на расстоянии 10 см друг от друга, заряжены до разности потенциалов 1000 В. Какая сила будет действовать на заряд, равный 0,1 мКл, помещенный между пластинами?

23.2. Опыт показывает, что у поверхности Земли имеется электрическое поле, направленное к Земле, напряженность которого равна около 130 В/м. Какая сила действует на положительный ион водорода вблизи Земли и куда эта сила направлена? Во сколько раз она больше силы тяжести, действующей на ион? Масса атома водорода равна  кг. Заряд электрона равен  Кл.

 

Согласно формуле (21.1),

,

где  – работа, совершаемая над зарядом  при его перемещении из точки 1 в точку 2. Если заряд положителен, то знак  совпадает со знаком . Работа  будет положительна, если сила, действующая на заряд, направлена так же, как перемещение, т. е. от точки 1 к точке 2. В случае положительного заряда  такое же направление будет иметь и напряженность поля. С другой стороны,  будет положительна, если потенциал в точке 2 меньше, чем в точке 1. Отсюда заключаем, что напряженность электрического поля направлена в сторону убывания потенциала. Поэтому поле будет стремиться переместить положительный заряд в сторону убывания потенциала, а отрицательный заряд – в сторону возрастания потенциала.

Таким образом, при помощи разности потенциалов можно охарактеризовать электрическое поле так же полно, как и при помощи напряженности. График эквипотенциальных линий представляет собой такую же «электрическую карту», как и график линий поля. Зная один из этих графиков, можно, согласно сказанному в § 22, без труда построить другой график. Относительно густоты проведения эквипотенциальных поверхностей можно повторить то же самое, что сказано в § 17 относительно густоты линий поля. Если известно распределение потенциалов в поле, то можно очень просто разрешать важные задачи, относящиеся к электрическому полю. Во многих случаях решение таких задач с помощью распределения потенциалов проще, чем с помощью линий поля.

В § 25 мы увидим также, что разность потенциалов гораздо легче измерить на опыте, чем напряженность поля. Поэтому описание поля при помощи разности потенциалов – очень важный и полезный метод.