§ 50. Последовательное и параллельное соединение проводников.

На практике электрические цепи никогда не состоят из однородных проводов постоянного сечения, а представляют собой совокупность различных проводников, определенным образом соединенных между собой. Каким путем можно найти сопротивление сложной цепи, если известно сопротивление отдельных проводников, ее составляющих?

Рассмотрим случай двух проводников, включенных в цепь последовательно (рис. 84). Пусть сопротивления отдельных проводников равны  и . Сила тока  в обоих проводниках, конечно, одинакова (§ 42). Однако напряжения  и  между концами каждого из проводников различны. На основании закона Ома имеем

, ,

поэтому

.                   (50.1)

При последовательном соединении напряжение на каждом из проводников пропорционально его сопротивлению.

Рис. 84. Схема измерения силы тока в цепи, где сопротивления  и  соединены последовательно

Полное напряжение  между началом первого проводника и концом второго равно сумме этих напряжений. Поэтому

.

Если обозначить через  сопротивление всего участка цепи, состоящего из сопротивлений  и , то по закону Ома

.

Из сравнения двух последних формул легко найти, что

.

Производя подобные рассуждения для трех, четырех и, вообще,  проводников, мы получим, очевидно, следующий результат:

.             (50.2)

Сопротивление участка цепи, составленного из последовательно соединенных проводников, равно сумме сопротивлений отдельных проводников. Или коротко: при последовательном соединении проводников их сопротивления складываются.

Рассмотрим теперь соединение двух проводников с сопротивлениями  и  изображенное на рис. 85. Такое соединение называется параллельным. Проводники включены в цепь батареи. Обозначим силу тока, идущего по цепи, которую мы измеряем амперметром, через . Ток этот, входя в группу проводников  и , разветвляется на два, вообще говоря, не равных тока  и . Сумма этих токов  и , равна силе тока  (§ 42):

.                 (50.3)

Рис. 85. Схема измерения силы тока в цепи, где сопротивления  и  соединены параллельно

Соотношение сил токов  и , зависит от сопротивлений  и . Действительно, на основании закона Ома напряжение на концах первого проводника

,

а на концах второго проводника

.

Но обе эти величины равны друг другу, так как каждая из них есть напряжение между одними и теми же точками  и . Итак, , т. е.

.                    (50.4)

При параллельном соединении силы токов в отдельных проводниках обратно пропорциональны их сопротивлениям.

Для нахождения полного сопротивления участка  воспользуемся соотношением (50.3):

.

Если обозначить через  полное сопротивление участка , то по закону Ома

.

Сравнивая две последние формулы, находим

.

Если параллельно соединены не два, а три, четыре и, вообще,  проводников, то подобным же образом можно получить соотношение

.                      (50.5)

 

50.1. Существует следующий способ графического расчета сопротивления двух параллельно соединенных проводников: если из некоторой точки  прямой  (рис. 86) восставить перпендикуляр , длина которого в некотором масштабе равна сопротивлению одного проводника , а из другой (произвольной) точки  восставить перпендикуляр  длины , то расстояние  от точки пересечения  прямых  и  до прямой  будет равно сопротивлению  обоих параллельно соединенных проводников:

.

Докажите это.

Рис. 86. К упражнению 50.1

50.2. В квартире включены две лампочки с сопротивлением 120 Ом каждая и электроплитка с сопротивлением 30 Ом. Каково общее сопротивление сети? Какой ток расходуется на питание этой сети, если напряжение в сети равно 220 В? Начертите схему включения. Сопротивлением проводов пренебрегите.