§ 50. Стоячие волны в пластинках и других протяженных телах

Стоячие волны могут получаться в телах любой формы, а не только в таких сильно удлиненных телах, струна или шнур. Неподвижные места стоячей волны — ее узлы — представляют собой поверхности, рассекающие объем тела на участки, в середине которых наиболее сильны колебания (пучности). Строго говоря, мы и в случае струны или шнура имеем тоже узловые поверхности — неподвижные поперечные сечения. Но так как протяженность этих сечений очень невелика по сравнению с длиной струны или шнура, то мы говорим об узловых точках, рассматривая сами тела как геометрические линии.

Если тело приближается по своей форме к геометрической поверхности, т. е. представляет собой пластинку (плоскую или изогнутую) или оболочку, то в нем узловые поверхности можно считать узловыми линиями. На рис. 101 показано, как колеблется стакан, если ударить его по краю. Узловые линии нарисованы жирно, а штриховыми линиями показано (в преувеличенном виде), как изгибаются стенки стакана при этом — основном — колебании. Так же колеблется и колокол.

Рис. 101. Колебания стакана (основное колебание)

Наглядный и красивый способ наблюдения стоячих волн в пластинках придумал в 1787 г. немецкий физик Эрнст Хладни (1756—1827). На пластинку из стекла, металла или дерева, закрепленную в какой-либо одной точке, насыпается песок. Стоячие волны в пластинке возбуждаются тем, что где-либо по ее краю проводят натертым канифолью смычком (рис. 102). Песок сбрасывается с пучностей и собирается на узловых линиях, образуя так называемые фигуры Хладни. Эти фигуры дают, таким образом, картину узловых линий, рассекающих поверхность пластинки при ее колебаниях. Вид фигур зависит от формы пластинки и положения закрепленной точки, а также от того, в каком месте проводить смычком и где придерживать при этом пластинку пальцами. На рис. 103 показано несколько примеров фигур Хладни в квадратной пластинке.

Рис. 102. Получение фигур Хладни

Рис. 103. Примеры фигур Хладни. Знаком плюс отмечены те пучности, где пластинка выгнута в данный момент кверху, а знаком минус — книзу. Через четверть периода пластинка сделается плоской, а еще через четверть периода плюсы прогнутся вниз, а минусы – вверх.

Пример стоячих волн в объеме тела дают нам колебания воздуха внутри какой-либо твердой (не обязательно целиком замкнутой) оболочки. Возьмем прямоугольный деревянный ящик, у которого нет стенки  (рис. 104). Если воздух колеблется вдоль ребра , то при основном колебании (наинизшая частота, наибольшая длина волны) мы получаем узловую плоскость на стенке  и пучность в отверстии . На длине ящика  укладывается, таким образом, четверть волны (рис. 105, а). В первом обертоне мы имеем две узловые плоскости: одна по-прежнему на стенке , где, очевидно, узел должен получаться во всех случаях, а другая — на расстоянии пол волны от этой стенки и четверти волны от открытого конца, в котором опять мы имеем пучность. Вдоль ребра  теперь укладывается 3/4 волны (рис. 105, б), т. е. волна втрое короче, а частота втрое выше основной. Частота второго обертона будет в пять раз выше основной (рис. 105, в), и т. д.

Рис. 104. Ящик без одной стенки

Рис. 105. Стоячие волны в ящике, изображенном на рис. 104: а) основное колебание; б) первый обертон; в) второй обертон

Если закрыть отверстие ящика, то при любых собственных колебаниях, направленных вдоль ребра , узловая плоскость должна будет получаться как на , так и на . На рис. 106 показаны основное колебание и два первых обертона в этом случае.

Рис. 106. Стоячие волны в закрытом ящике: а) основное колебание; б) первый обертон; в) второй обертон

Такого же характера стоячие волны получаются в трубах разных сечений. На рис. 107 показаны основное колебание и два первых обертона в круглой трубе, открытой с обоих концов. В этом случае у обоих концов получаются пучности колебаний.

Рис. 107. Стоячие волны в трубе, открытой с обоих сторон: а) основное колебание; б) первый обертон; в) второй обертон

Колебания воздушных столбов в трубах используются в духовых музыкальных инструментах (орган, флейта и т. д.).