§ 91. Изображение точечного источника и протяженного объекта в плоском зеркале. Изображение точечного источника в сферическом зеркале

Мы переходим теперь к задаче нахождения изображений при отражении света от различного типа зеркал. Законы образования изображений светящихся точек при отражении в зеркале и при преломлении в линзе во многом аналогичны.

Эта аналогия, конечно, не случайна; она обусловлена тем, что формально, как мы видели в гл. IX, закон отражения является частным случаем закона преломления (при ).

Наиболее просто решается поставленная нами задача для отражения световых лучей от плоского зеркала. Вместе с тем отражение света от плоского зеркала представляет собой наиболее простой и общеизвестный случай образования мнимых изображений, рассмотренных в предыдущем параграфе.

Рис. 203. Образование мнимого изображения точки в плоском зеркале

Пусть пучок лучей от точечного источника (рис. 203) падает на плоское зеркало (металлическое зеркало, поверхность воды и т. д.). Проследим, что произойдет с этим конусом лучей, имеющим вершину в точке . Возьмем два произвольных луча и . Каждый из них отразится по закону отражения, и угол каждого из них с нормалью останется после отражения неизменным. Следовательно, останется неизменным и угол между лучами после отражения.

Этот угол между отраженными лучами можно изобразить на рисунке, продолжив отраженные лучи назад, за плоскость зеркала, что показано на чертеже штриховыми линиями. Точка пересечения продолжения лучей за зеркалом будет лежать на той же нормали к зеркалу, что и точка , и на том же расстоянии от плоскости зеркала, в чем легко убедиться из равенства треугольников и или и .

Ввиду того, что рассмотренные лучи и были совершенно произвольными, мы вправе установленные для них результаты отражения от плоского зеркала распространить на весь световой пучок. Следовательно, мы можем утверждать, что при отражении от плоского зеркала пучок световых лучей, исходящих из одной точки, превращается в световой пучок, в котором продолжения всех световых лучей снова пересекаются, в одной и той же точке.

В результате наблюдателю, помещенному на пути отраженных лучей, они будут казаться пересекающимися в точке , и эта точка будет мнимым изображением точки . Изображение будет мнимым в указанном выше смысле: никаких лучей в точке за зеркалом нет, но точка является вершиной пучка лучей, повернутого после отражения от зеркала.

Рассмотрение мнимого изображения светящейся точки в плоском зеркале и сделанные выводы о положении этого изображения «за зеркалом» позволяют легко найти также изображение протяженного объекта в плоском зеркале.

Пусть перед зеркалом находится прямолинейный светящийся отрезок (рис. 204, а). Выполняя по найденному рецепту построение точек и и соединяя их прямой, мы получим изображение всех точек отрезка.

Это вытекает из элементарных геометрических соображений. Так кап отрезок был выбран совершенно произвольно, то точно так же можно построить изображение любого предмета. При этом из параллельности между собой всех нормалей к зеркалу ясно, что размеры мнимого изображения в плоском зеркале равны размерам предмета, поставленного перед зеркалом.

Рис. 204. а) Образование мнимого изображения прямолинейного отрезка в плоском зеркале. б) Наблюдателю кажется, что свеча горит в бутылке с водой, расположенной за стеклянной пластинкой там, где находится мнимое изображение свечи в этой пластинке

В решении, найденном для случая отражения световых пучков от плоского зеркал, каждая точка светящегося объекта изобразится в плоском зеркале также в виде точки (т. е. стигматически).

Переходим теперь к рассмотрению сферических зеркал. На рис. 205 изображено сечение вогнутого сферического зеркала радиуса ; — центр сферы. Средняя точка имеющейся части сферической поверхности называется полюсом зеркала . Нормаль к зеркалу, проходящая через центр зеркала и через его полюс, называется главной оптической осью зеркала. Нормали к зеркалу, проведенные в других точках его поверхности и также, конечно, проходящие через центр зеркала , носят название побочных оптических осей. Одна из них () показана на рис. 205. Все нормали к сферической поверхности, конечно, равноправны, и выделение главной оптической оси среди побочных не является существенным. Диаметр окружности, ограничивающей сферическое зеркало, носит название отверстия зеркала.

Рис. 205. Отражение от сферического зеркала луча , выходящего из точки на оси

Все дальнейшее есть упрощенное повторение сказанного в §§88, 89 относительно линз.

Пусть точечный источник света расположен на главной оси зеркала на расстоянии от полюса. Так же, как и в случае линз, рассмотрим луч , принадлежащий к узкому пучку, т. е. образующий с осью малый угол и падающий на зеркало в точке на высоте над осью, так что мало по сравнению с и с радиусом зеркала . Отраженный луч пересечет ось в точке на расстоянии от полюса. Угол, образуемый отраженным лучом с осью, обозначим . Он также будет мал.

Очевидно, есть перпендикуляр к поверхности зеркала в точке падения, — угол падения, — угол отражения. По закону отражения

. (91.1)

Обозначим буквой угол, образуемый радиусом с осью. Из треугольника имеем

; (91.2)

из треугольника

. (91.3)

Складывая (91.2) и (91.3) и учитывая, что , находим

. (91.4)

Так как мы рассматриваем узкий пучок лучей, прилегающих к главной оси, т. е. углы , и малы, то мы можем заменить синусы углов самими углами и пренебречь длиной отрезка . Тогда мы будем иметь приближенные равенства:

. (91.5)

Подставляя полученные равенства в уравнение (91.4) и сокращая на общий множитель , находим

То, что высота , равно как и угол , не входят в окончательный результат, означает, что любой луч, выходящий из точки (и принадлежащий к достаточно узкому пучку), после отражения пройдет через точку на расстоянии от полюса. Таким образом, точка есть изображение точки .

Мы видим, что при отражении в сферическом зеркале изображением точечного источника является снова точка. Как и в случае линзы, точка , в которой расположен источник, и точка , в которой находится изображение, сопряжены между собой, т. е., поместив источник в точку , мы получим изображение в точке (следствие закона обратимости световых лучей, см. §82).

Полученная нами формула (91.6) является основной формулой сферического зеркала.

Легко доказать, что для выпуклого сферического зеркала формула (91.6) остается в силе.