4.2.2. ЭФФЕКТЫ, СВЯЗАННЫЕ С НАЛОЖЕНИЕМ СПЕКТРОВДля безошибочного восстановления непрерывного изображения необходимо ограничить ширину спектра исходного изображения, взять отсчеты по пространственным переменным с частотой не ниже найквистовской и интерполировать отсчеты изображения. Вопрос об интерполяции рассмотрен в следующем разделе, а здесь дан анализ эффектов, возникающих при дискретизации с недостаточной частотой. Если при такой дискретизации имеет место наложение спектров, как отмечено штриховкой на рис. 4.2.3, то в восстановленное изображение будут внесены ложные пространственные гармоники [11, 12]. На рис. 4.2.4 показано, как выглядят на реальном изображении ошибки, вызванные наложением спектров. Недостаточная частота дискретизации приводит к появлению в восстановленном изображении ложных низкочастотных гармоник. В оптике это явление называют муаровыми узорами или муар-эффектом. Согласно равенству (4.1.7), спектр дискретизованного изображения можно представить виде
где
описывает те компоненты спектра дискретизованного изображения, которые получаются при повторении исходного спектра с периодами Рис. 4.2.3. Спектры двумерной функции, дискретизованной с недостаточной частотой. При отсутствии наложения спектров оптимальную интерполяцию отсчетов изображения можно получить, пропуская дискретизованное изображение через идеальный фильтр нижних частот с частотной характеристикой где
где слагаемое
соответствует деталям восстановленного изображения, которые появились вследствие наложения. Все коэффициенты, изменяющие амплитуду, входят в 4.2.4. Пример искажений, вызванных наложением спектров: а - исходное изображение; б – дискретизованное изображение. Ложную компоненту (4.2.16) можно существенно ослабить, если для интерполяции применить фильтр, частотная характеристика которого согласована со спектром исходного изображения. Этот метод описан в гл. 15. Ниже будет рассмотрен другой подход, при котором для уменьшения наложения спектров изображение перед дискретизацией подвергают низкочастотной фильтрации. Рис. 4.2.5. К анализу ошибок, вызванных наложением спектров. На рис. 4.2.5 представлена модель, служащая для количественного анализа эффектов, связанных с наложением спектров. В ней предполагается, что исходное изображение
а спектр дискретизованного изображения
Желательно разделить эффекты, вызванные дискретизацией с недостаточной частотой, и последствия неточного восстановления. Поэтому здесь будем полагать, что в качестве восстанавливающего фильтра взят оптимальный фильтр с частотной характеристикой (4.2.14). Мощность компоненты сигнала при
В идеальном случае частотная характеристика предварительного фильтра должна совпадать с частотной характеристикой (4.2.14) восстанавливающего фильтра. При этом мощность дискретизованного сигнала оказывается наибольшей и равна
Уменьшение резкости изображения, связанное с введением предварительного фильтра, можно выразить отношением
Ошибку, вызванную наложением спектров, обычно определяют через энергию паразитных гармоник, принадлежащих смещенным спектрам, попадающим в полосу пропускания восстанавливающего фильтра. Предположим для упрощения, что частота дискретизации довольно высока и вклад спектров, смещенных на
где
есть энергия сигнала на выходе предварительного фильтра. Тогда ошибку из-за наложения спектров можно определить как [11]
Эту ошибку можно уменьшить путем ослабления высших пространственных гармоник Рассмотрим теперь соотношение между величиной этой ошибки и степенью снижения резкости применительно к нескольким типам предварительных фильтров, вероятно, простейшим способом пространственной фильтрации изображения, полученного в некогерентном свете, является пропускание изображения через линзу с ограниченной апертурой. Пространственную фильтрацию также можно осуществить, дефокусируя оптическую систему. На рис. 13.2.2 показана зависимость частотной характеристики круглой линзы от степени ее дефокусировки. Даже при использовании точно сфокусированной линзы, не имеющей аберраций, получается некоторое смазывание изображения из-за дифракции на конечной апертуре. Частотная характеристика безаберрационной круглой линзы диаметром
где В некогерентной оптической системе сканирующего микроденситометра дискретизирующий импульс имеет прямоугольную форму:
Частотная характеристика в этом случае равна
В электронно-лучевых трубках образуется световое пятно с двумерным гауссовым распределением яркости.
где
Рис. 4.2.6. Ошибка, вызванная наложением спектров, и потеря резкости для различных предварительных фильтров при На рис. 4.2.6 приведены графики зависимости потери резкости и величины ошибки, вызванной наложением спектров, от
где
|