Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В гл. 2 были рассмотрены вопросы, связанные с математическим описанием непрерывных изображений. В настоящей главе даны способы формального представления дискретных изображений с использованием как детерминированных, так и статистических моделей.

5.1. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ И МАТРИЦАМИ

В данном разделе коротко рассмотрены встречающиеся в тексте математические действия, выполняемые с векторами и матрицами. Строгий вывод и доказательства теорем и положений, приведенных ниже, можно найти в литературе [1-5].

Вектор

Вектор-столбец размера представляет собой совокупность элементов , где , расположенных в виде вертикального столбца

(5.1.1)

Вектор-строка размера представляет собой упорядоченную совокупность элементов , где , расположенных в виде горизонтальной строки

(5.1.2)

В книге полужирными строчными буквами будут, как правило, обозначаться вектор-столбцы. Вектор-строка будет обозначаться как транспонированный вектор-столбец:

(5.1.3)

Матрица

Матрица размера представляет собой совокупность элементов где и , расположенных в виде строк и столбцов двумерной таблицы

(5.1.4)

Символ обозначает нулевую матрицу, все элементы которой равны нулю. Диагональная матрица – это квадратная матрица (когда ), все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, т.е. , если . Единичная матрица, обозначаемая символом , есть диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице. Индекс при символе единичной матрицы указывает ее размеры; обозначает единичную матрицу размера . Матрица может быть разделена на блоки (подматрицы) :

. (5.1.5)

Сложение матриц

Сумма двух матриц определена только в том случае, когда обе матрицы имеют одинаковые размеры. Матрица - сумма матриц и , имеет размеры , а ее элементы .

Умножение матриц

Произведение двух матриц определено только тогда, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . При умножении матрицы размера на матрицу размера получается матрица размера , элементы которой определяются равенством

(5.1.6)

При умножении матрицы на скаляр получается матрица , элементы которой .

Обращение матриц

Если - квадратная матрица, то матрица, обратная относительно нее и обозначаемая как , обладает следующими свойствами: и . Если матрица существует, то матрица называется неособенной (невырожденной). В противном случае она называется особенной (вырожденной). Если у некоторой матрицы есть обратная, то эта обратная матрица единственна. Матрица, обратная относительной обратной, совпадает с исходной матрицей, т.е.

(5.1.7)

Если матрицы и неособенные, то

(5.1.8)

Если матрица неособенная, а скаляр , то

. (5.1.9)

Обращение особенных квадратных матриц и неквадратных матриц будет рассмотрено в гл. 8. Матрицу, обратную относительно блочной квадратной матрицы

, (5.1.10)

можно представить в виде

(5.1.11)

при условии, что матрицы и не являются особенными.

Транспонирование матриц

При транспонировании матрицы размера образуется матрица размера , которую обозначают через . Строки матрицы совпадают со столбцами, а столбцы — со строками матрицы . Для любой матрицы

. (5.1.12)

Если , то матрицу называют симметричной. Для любых матриц и

(5.1.13)

Если матрица неособенная, то матрица также неособенная и

. (5.1.14)

Прямое произведение матриц

Левое прямое произведение матрицы размера на матрицу размера представляет собой матрицу размера

. (5.1.15)

Аналогично можно определить правое прямое произведение. В этой книге будет использоваться только левое прямое произведение. Прямые произведения и могут различаться между собой. Ниже указаны свойства операций умножения, сложения, транспонирования и обращения прямого произведения матриц:

, (5.1.16)

, (5.1.17)

, (5.1.18)

След матрицы

След квадратной матрицы размера равен сумме ее диагональных элементов и обозначается как

. (5.1.20)

Если и - квадратные матрицы, то

. (5.1.21)

След прямого произведения двух матриц равен

. (5.1.22)

Норма вектора

Евклидовой нормой вектора размера называется скаляр, определяемый как

. (5.1.23)

Норма матрицы

Евклидовой нормой матрицы размера называется скаляр, определяемый следующим образом:

. (5.1.24)

Ранг матрицы

Матрица размера имеет ранг , если наибольший из всех ее квадратных неособенных блоков имеет размер . Понятие о ранге используется при обращении матриц. Если матрицы и неособенные, а - произвольная матрица, то