Глава 6. КВАНТОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Любая аналоговая величина, подлежащая обработке в ЦВМ или цифровой системе, должна быть представлена в виде целого числа, пропорционального значению этой величины. Процесс преобразования отсчетов, имеющих непрерывное множество значений, в отсчеты с дискретными значениями называется квантованием. В следующих двух разделах дан математический анализ процесса квантования, который справедлив не только для изображений, но и вообще для широкого класса сигналов, с которыми приходится сталкиваться в системах обработки изображений. Затем рассматривается обработка квантованных отсчетов. В двух последних разделах описаны субъективные эффекты, возникающие при квантовании одноцветных и цветных изображений.

6.1. КВАНТОВАНИЕ СКАЛЯРНЫХ ВЕЛИЧИН

Рис. 6.1.1 иллюстрирует типичный пример квантования скалярного сигнала. В процессе квантования значение отсчета аналогового сигнала сравнивается с набором пороговых уровней. Если отсчет попадает в интервал между двумя соседними пороговыми уровнями, то ему приписывается значение фиксированного уровня квантования, соответствующего данному интервалу. В цифровой системе каждому квантованному отсчету ставится в соответствие двоичная кодовая комбинация. В этом примере применен равномерный код, имеющий постоянную длину кодовых комбинаций.

Приступая к количественному анализу квантования скалярных величин, допустим, что  и  обозначают соответственно значения отсчета действительного скалярного сигнала до и после квантования. Предполагается, что  - случайная величина с плотностью вероятности . Кроме того, предполагается, что  не выходит за пределы некоторого интервала:

,                (6.1.1)

где  и  - верхняя и нижняя границы интервала.

При решении задачи о квантовании необходимо выбрать такой набор пороговых уровней  и уровней квантования , что если

,              (6.1.2)

то исходный отсчет заменяется на число, равное уровню квантования . На рис. 6.1.2, а приведен пример размещения пороговых уровней и уровней квантования на отрезке числовой оси, содержащем  пороговых уровней. Другой распространенной формой представления характеристики квантователя является ступенчатая кривая (рис. 6.1.2, б).

Рис. 6.1.1. Пример квантования сигнала.

Уровни квантования и пороговые уровни выбирают так, чтобы уменьшить до минимума некоторую заданную величину, характеризующую ошибку квантования, т. е. степень различия между  и . В качестве меры ошибки квантования обычно выбирают среднеквадратическую ошибку. Если  - число уровней квантования, то среднеквадратическая ошибка квантования равна

.     (6.1.3)

Если число  велико, то плотность вероятности значений квантуемого сигнала на каждом из интервалов  можно считать постоянной и равной . Следовательно,

                         (6.1.4)

или после вычисления интегралов

       (6.1.5)

Оптимальное положение уровня квантования  в интервале  можно найти, решая задачу о минимуме ошибки  как функции . Приравнивая нулю производную

,                            (6.1.6)

получаем

.                 (6.1.7)

Таким образом, при сделанных допущениях оптимальным положением уровня квантования является середина интервала между соседними пороговыми уровнями.

Рис. 6.1.2. Пороговые уровни и уровни квантования.

Подставив соответствующие величины в выражение для ошибки квантования, получим

.            (6.1.8)

Оптимальное положение пороговых уровней можно определить, находя минимум ошибки  методом множителей Лагранжа. С помощью этого метода Пантер и Дайт [1] показали, что положения пороговых уровней довольно точно определяются по формуле

     (6.1.9a)

где

,                        (6.1.9б)

а . Если плотность вероятности значений отсчетов равномерна, то пороговые уровни будут расставлены равномерно. При неравномерных плотностях пороговые уровни чаще в тех участках, где плотность вероятности велика, и реже там, где она мала. Для большинства видов плотности вероятности, используемых обычно при описании изображений, интегралы (6.1.9) взять не удается и положение пороговых уровней приходится находить с помощью численного интегрирования.

Если число уровней квантования невелико, то приближение, с помощью которого получено равенство (6.1.4), становится неоправданным и следует использовать точное выражение для ошибки (6.1.3). Дифференцируя его по переменным  и  и приравнивая производные нулю, получаем

,     (6.1.10а)

                         (6.1.10б)

После преобразований приходим к системе уравнений

,                                              (6.1.11а)

.       (6.1.11б)

Решая эти уравнения рекуррентным способом, можно для заданной плотности вероятности  найти оптимальные значения пороговых уровней и уровней квантования. Макс [2] решил такую задачу для гауссовой плотности и составил таблицы оптимального размещения пороговых уровней в зависимости от числа уровней квантования. В табл. 6.1.1 указано расположение уровней квантования и пороговых уровней в квантователе Макса для плотностей распределений вероятностей Гаусса, Лапласа, Рэлея и равномерного.

Таблица 6.1.1. Расположение уровней квантования и пороговых уровней в квантователе Макса

Число зарядов	Равномерное		Гаусса		Лапласа		Рэлея
1	-1,0000	-0,5000		-0,7979		-0,7071	0,0000	1,2657
	0,0000	0,5000	0,0000	0,7979	0,0000	0,7071	2,0985	2,9313
	1,0000
2	-1,0000	-0,7500		-1,5104		-1,8340	0,0000	0,8079
	-0,5000	-0,2500	-0,9816	-0,4528	-1,1269	-0,4198	1,2545	1,7010
	-0,0000	0,2500	0,0000	0,4528	0,0000	0,4198	2,1667	2,6325
	0,5000	0,7500	0,9816	1,5104	1,1269	1.8340	3,2465	3,8604
	1,0000
3	-1,0000	-0,8750		-2,1519		-3,0867	0,0000	0,5016
	-0,7500	-0,6250	-1,7479	-1,3439	-2,3796	-1,6725	0,7619	1,0222
	-0,5000	-0,3750	-1,0500	-0,7560	-1,2527	-0,8330	1,2594	1,4966
	-0,2500	-0,1250	-0,5005	-0,2451	-0,5332	-0,2334	1,7327	1,9688
	0,0000	0.1250	0,0000	0,2451	0,0000	0,2334	2,2182	2,4675
	0,2500	0,3750	0,5005	0,7560	0,5332	0,8330	2,7476	3,0277
	0,5000	0,6250	1,0500	1,3439	1,2527	1,6725	3,3707	3,7137
	0,7500	0,8750	1,7479.	2,1519	2,3796	3,0867	4,2124	4,7111
	1,0000
4	-1,0000	-0,9375		-2,7326		-4,4311	0,0000	0,3057
	-0,8750	-0,8125	-2,4008	-2,0690	-3,7240	-3,0169	0,4606	0,6156
	-0,7500	-0,6875	-1,8435	-1,6180	-2,5971	-2,1773	0,7509	0,8863
	-0,6250	-0,5625	-1,4371	-1,2562	-1,8776	-1,5778	1,0130	1,1397
	-0,5000	-0,4375	-1,0993	-0,9423	-1,3444	-1,1110	1,2624	1,3850
	-0,3750	-0,3125	-0,7995	-0,6568	-0,9198	-0,7287	1,5064	1,6277
	-0,2500	-0,1875	-0,5224	-0,3880	-0,5667	-0,4048	1,7499	1,8721
	-0,1250	-0,0625	-0,2582	-0,1284	-0,2664	-0,1240	1,9970	2,1220
	0,0000	0,0625	0,0000	0,1284	0,0000	0,1240	2,2517	2,3814
	0,1250	0,1875	0,2582	0,3880	0,2644	0,4048	2,5182	2,6550
	0,2500	0,3125	0,5224	0,6568	0,5667	0,7287	2,8021	2,9492
	0,3750	0,4375	0,7995	0,9423	0,9198	1,1110	3,1110	3,2729
	0,5000	0,5625	1,0993	3,2562	1,3444	1,5778	3,4566	3,6403
	0,6250	0,6875	1.4371	1,6180	1,8776	2,1773	3,8588	4,0772
	0,7500	0,8125	1,8435	2,0690	2,5971	3,0169	4,3579	4,6385
	0,8750	0,9375	2,4008	2,7326	3,7240	4,4311	5,0649	5,4913
	1,0000

Нетрудно показать, что если пороговые уровни и уровни квантования выбраны согласно равенству (6.1.11), то среднеквадратическая ошибка квантования уменьшается до величины

     (6.1.12a)

или в более короткой форме

        (6.1.12б)

Для частного случая плотности равномерного распределения вероятностей минимальная среднеквадратическая ошибка равна

                                          (6.1.13)

Для большинства других видов плотности вероятности ошибку квантования приходится определять с помощью расчетов.

Неравномерное квантование можно свести к равномерному с помощью нелинейного преобразования, как показано на рис. 6.1.3. Отсчет подвергается нелинейному преобразованию, зачтем равномерно квантуется и подвергается обратному нелинейному преобразованию [3]. В системах квантования с преобразованием стремятся сделать плотность вероятности преобразованных отсчетов на входе квантователя равномерной. Преобразованный отсчет (рис. 6.1.3) есть

,                              (6.1.14)

причем нелинейное преобразование  выбрано таким, что плотность вероятности  оказывается равномерной, т. е.

.                                (6.1.15)

в интервале . Если  - случайная вёличина с нулевым средним, то искомая характеристика нелинейного элемента имеет вид [4]

.         (6.1.16)

Рис. 6.1.3. Квантователь со сжатием.

Таблица 6.1.2. Квантование с преобразованием

Плотность вероятности	Прямое преобразование	Обратное преобразование
Гауссова Релея Лапласа

Таким образом, она совпадает с функцией распределения вероятностей величины . В табл. 6.1.2 приведены характеристики прямого и обратного нелинейных преобразований для плотностей распределений вероятностей Гаусса, Релея, Лапласа.