13.7. МОДЕЛИ ЦИФРОВОЙ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В начале этой главы были введены обобщенная модель изображающей системы и модель процессора цифровой реставрации изображений. Затем на базе обобщенной модели были описаны и промоделированы типичные элементы изображающей системы. Теперь рассмотрим несколько моделей цифровой реставрации изображений. Эти модели будут использованы в последующих главах для описания ряда методов реставрации изображений.

Процесс реставрации можно описать с помощью следующих выражений:

,                      (13.7.1а)

,                     (13.7.1б)

.                      (13.7.1в)

Здесь  - массив наблюдаемых отсчетов изображения,  - массив элементов идеально дискретизованного изображения,  - массив элементов идеально дискретизованной оценки изображения,  - массив компенсированных отсчетов на выходе системы цифровой реставрации,  - массивы отсчетов составляющих шума, возникающих в различных элементах системы,  - обобщенные передаточные функции изображающей системы, реставрирующего процессора и дисплея соответственно.

Соотношения (13.7.1) можно представить в эквивалентной векторной форме:

,                     (13.7.2а)

,             (13.7.2б)

,             (13.7.2в)

где  - векторы, полученные разверткой по столбцам соответствующих массивов. В последующих главах рассмотрены некоторые методы нахождения приближенных решений (13.7.1) или (13.7.2). К сожалению, решения общего вида до сих пор не получены; поэтому мы обратимся к частным решениям.

Модель, показанная на рис. 13.7.1, является наиболее общей моделью цифровой реставрации изображений, в которой изображение приобретает пространственные искажения, приводящие к ухудшению резкости, электрический датчик реагирует нелинейным образом на интенсивность входного излучения, а усилитель датчика вносит гауссов шум, не зависящий от изображения. Затем следует цифровой преобразователь, который также может увеличить нерезкость дискретизованного изображения в случае использования дискретизирующих импульсов конечной протяженности.

Рис. 13.7.1. Обобщенная модель изображающей системы (а) и цифровой реставрации изображений (б) для случая дискретизованного нерезкого изображения с аддитивным шумом.

Возникновение нерезкости изображения можно промоделировать операцией суперпозиции с импульсным откликом , который может быть пространственно-зависимым. Предполагается, что нелинейная реакция датчика на изображение  имеет поэлементный характер и что на выходе датчика имеется аддитивное шумовое поле . Эффект дискретизации импульсами конечной протяженности симметричной формы  моделируется операцией свертки  с  и последующей идеальной дискретизацией.

Цель реставрации состоит в формировании массива отсчетов , являющихся оценками отсчетов идеального входного изображения, представленного функцией , которые образуются на выходе идеального цифрового преобразователя, осуществляющего дискретизацию с шагом . Для разработки модели цифровой реставрации требуется определить количественные соотношения между отсчетами наблюдаемого изображения  и значениями исходного изображения в узловых точках, или псевдоотсчетами, , пользуясь методами, изложенными в разд. 9.2. С этой целью проводят усечение эквивалентного импульсного отклика дискретизирующего импульса , вводя некоторые пространственные границы , а затем в узлах решетки с шагом  выделяют псевдоотсчеты наблюдаемого непрерывного изображения, описываемого функцией . Следующий шаг в получении дискретного представления - определение соотношений между элементами наблюдаемого поля изображения  и элементами поля изображения  и шумового поля . Последний шаг при разработке модели цифровой реставрации изображений состоит в нахождении дискретного эквивалента операции суперпозиции с использованием импульсного отклика . В рассмотренной модели существуют два потенциальных источника погрешностей: усечение импульсных откликов  и  и интегрирование методом квадратурных сумм. Чтобы можно было пренебречь погрешностями обоих видов, интервалы усечения выбирают большими, а приращения  и  в квадратурных суммах берут малыми. Конечно, при этом увеличиваются размеры массивов и, следовательно, возрастают требования к объему памяти и мощности вычислительных средств. Более того, как будет показано в дальнейшем, повышение точности дискретизации может даже привести к неустойчивости вычислительного процесса реставрации!

Важное значение имеют относительные геометрические размеры различных массивов модели реставрации изображений. Эти массивы образуют гнездо (рис. 13.7.2). Область массива нерезкого изображения  меньше области массива идеально дискретизованного изображения  на половину протяженности усеченного импульсного отклика . Аналогично область массива физических отсчетов  меньше области массива наблюдаемых элементов изображения  на половину протяженности усеченного импульсного отклика

Рис. 13.7.2. Соотношение между различными массивами отсчетов изображения.

Чтобы можно было воспользоваться формальной структурой векторной алгебры при последующем анализе процедур реставрации изображений, образуем векторные эквиваленты различных массивов, используемых в реставрационной модели. Следуя методам разд. 9.2, и в этом случае изменим индексы массивов таким образом, чтобы в каждом из них первый элемент занял верхний левый угол.

Затем установим векторные соотношения между отдельными блоками модели, для чего произведем развертку столбцов указанных массивов.

В результате получим

,                 (13.7.3а)

,                (13.7.3б)

,             (13.7.3в)

,                  (13.7.3г)

где  и  - матрицы нерезкости, содержащие отсчеты  и  соответственно. Нелинейная операция (13.7.3в) определяется как поэлементное нелинейное преобразование. Таким образом, имеем

.              (13.7.4)

Из формул (13.7.3а) и (13.7.3г) можно получить соотношение, описывающее наблюдаемые физические отсчеты изображения, выраженные через математические псевдоотсчеты идеального изображения, следующего вида:

.                 (13.7.5)

Определим теперь некоторые специальные случаи для этого уравнения. Первый из них - отсутствие поэлементной нелинейности - соответствует равенству

,                        (13.7.6)

где  и . Мы получили классическую дискретную модель, содержащую систему линейных уравнений с включением неопределенности измерения. Второй особый случай, который будет рассматриваться позднее, соответствует условию пренебрежимо малой пространственной нерезкости, вносимой цифровым преобразователем. В этом случае можно записать

,                 (13.7.7)

где . Если приращение в квадратурных суммах  взять равным шагу отсчетов , то матрицы в (13.7.6) и (13.7.7) примут особую форму:

,                   (13.7.8)

где

                      (13.7.9)

при  и .

Для проведения экспериментов по реставрации изображений с использованием моделей (13.7.6) и (13.7.7) были сформированы два искусственных изображения [22]. Исследования методов реставрации при недоопределении проводились с использованием исходного изображения в виде квадрата размером  элемента с уровнем 245, находящегося на фоне с уровнем 10 (рис. 13.7.3,а); полная шкала яркостей охватывает уровни от -0 до 255. Функция рассеяния точки гауссовой формы, которую иллюстрирует рис. 13.7.3,б, определяется выражением вида

              (13.7.10)

на массиве размером  элементов, где  - нормирующий коэффициент,  и  - коэффициенты пространственной нерезкости. Исходное изображение, которое использовалось для исследования методов реставрации при переопределении (рис. 13.7.4,а), имеет вид квадрата размером  элемента с уровнем 245, расположенного в центре другого квадрата размером  элементов с уровнем 10 на фоне с нулевой яркостью. Это изображение может служить моделью реального изображения в виде луны на фоне темного неба. Исходное изображение делалось нерезким с помощью импульсного отклика размером  элементов, показанного на рис. 13.7.4,б. Нерезкое изображение состоит из  элементов. Предполагается, что наблюдаются все  элементов и что имеется априорное знание об ограниченном размере исходного изображения, состоящего из  элементов. Из этого следует, что многие элементы матрицы нерезкости (13.7.8) тождественно равны нулю. Более того, обозначив через  просканированное по столбцам исходное изображение размера  элементов , можно предложить следующую векторную модель для  реально наблюдаемых элементов :

,                 (13.7.11)

где  - матрица размера

,                 (13.7.12)

причем

              (13.7.13)

при  и . Матрица (13.7.12) представляет собой матрицу оператора конечной свертки -типа, введенного в гл. 9. Сравнение структур матриц нерезкости (13.7.8) и (13.7.12) для недоопределенной и переопределенной моделей показывает, что эти матрицы являются транспонированными парами. Таким образом, ; в особом случае разделимости строк и столбцов можно записать  и .

Рис. 13.7.3. Массивы изображения, использованные при исследовании недоопределенной модели.

а - исходное изображение; б - импульсный отклик; в - наблюдаемое изображение.

Рис. 13.7.4. Массивы изображения, использованные при исследовании переопределенной модели.

а - исходное изображение; б - импульсный отклик; в - наблюдаемое изображение.

В машинных экспериментах по реставрации изображений наблюдаемые нерезкие изображения для недоопределенной и переопределенной моделей были получены путем умножения развернутых по столбцам матриц исходных изображений (рис. 13.7.3,а и 13.7.4,а) на матрицы нерезкости  и  соответственно. Аддитивный белый гауссовый шум, добавляемый к нерезким изображениям, вырабатывался с помощью генератора случайных чисел. Перед воспроизведением все реставрированные изображения подвергались ограничению уровня (поэлементно), чтобы диапазон уровней составил 0-255.