14.1.1. ИНВЕРСНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Самые ранние попытки осуществить реставрацию изображений были основаны на использовании идеи инверсной фильтрации [6-10]. Анализ инверсной фильтрации можно провести с помощью схемы на рис. 14.1.1. Идеальное изображение  проходит через линейную искажающую систему с импульсным откликом  и повреждается аддитивным шумом . Предполагается, что между шумом и идеальным изображением корреляция отсутствует. Наблюдаемое изображение можно описать интегралом свертки

                       (14.1.1а)

или

.               (14.1.1б)

Система реставрации имеет вид фильтра с независимым от линейного сдвига импульсным откликом . На выходе этого фильтра получается исправленное изображение, описываемое функцией

.                (14.1.2)

Рис. 14.1.1. Реставрация изображений методом инверсной фильтрации.

Согласно теореме о свертке, имеем

,                    (14.1.3)

где , , , ,  - двумерные спектры Фурье , , , ,  соответственно. Если выбрать частотную характеристику  реставрирующего фильтра так, чтобы

,                       (14.1.4)

то получится спектр исправленного изображения

.               (14.1.5)

Обратное преобразование Фурье позволяет получить исправленное изображение, описываемое функцией

.                    (14.1.6)

При отсутствии шума источника достигается идеальная реставрация изображения; в противном случае возникает аддитивная ошибка реставрации, которая может стать очень большой на пространственных частотах с малым значением . Как правило,  и  принимают малые значения в области высоких пространственных частот, поэтому понижение качества изображения выражается в сильном искажении его мелких деталей. Рис. 14.1.2 иллюстрирует частотные зависимости, типичные для инверсной фильтрации.

Рис. 14.1.2. Типичные частотные зависимости в системе реставрации изображений методом инверсной фильтрации.

Шум может существенно затруднить получение однозначной оценки. Другими словами, малые изменения  могут стать причиной радикальных изменений оценки . Рассмотрим следующий пример. Пусть к функции  представляющей идеальное изображение, добавляется возмущающая функция . В результате образуется возмущенная функция

.                     (14.1.7)

Существует много возмущающих функций, удовлетворяющих условию

.              (14.1.8)

При выполнении этого условия функция  может описываться интегралом свертки (14.1.1) в пределах точности измерения наблюдаемого изображения. Можно показать, что в случае использования возмущающей функции в виде высокочастотной синусоиды произвольной амплитуды

.                  (14.1.9)

С точки зрения задач реставрации этот факт является крайне тревожным по двум причинам. С одной стороны, высокочастотные составляющие, которые могут содержаться в идеальном изображении, будут маскироваться наблюдаемым шумом. С другой стороны, наблюдаемый шум малого уровня может привести к появлению интенсивных высокочастотных составляющих в исправленном изображении, которые отсутствуют в оригинале. Если относительно слабый шум  в наблюдаемом изображении соответствует большим значениям возмущающих функций, то говорят, что интегральное уравнение вида (14.1.1а) является неустойчивым или плохо обусловленным. Эта неустойчивость определяется структурой импульсного отклика.

Предложены некоторые частные способы ослабления шумов, возникающих при инверсной фильтрации; один из них [8] заключается в применении реставрирующего фильтра с частотной характеристикой

,               (14.1.10)

где  - функция, принимающая почти единичное значение на тех пространственных частотах, на которых ожидаемая амплитуда спектра идеального изображения превышает ожидаемую амплитуду шумового спектра, и почти нулевое значение на всех остальных пространственных частотах. При этом спектр исправленного изображения имеет вид

.                      (14.1.11)

Этот результат является компромиссом между уменьшением уровня шума и снижением контраста мелких деталей изображения.

Одной из основных трудностей, возникающих при инверсной фильтрации, является также то, что частотная характеристика искажающей системы может иметь нулевые значения в рабочей полосе частот. На таких частотах инверсный фильтр не реализуем, так как его частотная характеристика должна принимать бесконечные значения. Поэтому в этих точках ее аппроксимируют частотной характеристикой, принимающей максимальные значения.