14.3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ

Прэтт и Давариан [20] разработали эффективные вычислительные алгоритмы для реставрации изображений методом псевдообращения матриц в случае пространственно-инвариантной нерезкости. Эти алгоритмы рассмотрены ниже применительно к переопределенной и недоопределенной моделям изображающей системы.

14.3.1. АЛГОРИТМ ДЛЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ МОДЕЛИ

Вычислительный алгоритм для реставрации методом псевдообращения матриц, разработанный для переопределенной модели, основан на циклической свертке в векторном пространстве (9.3.4), когда

,                  (14.3.1)

где  - матрица двумерной циклической свертки,  - вектор изображения размера , полученный путем введения нулей в вектор  размера  идеального изображения,  - соответствующий вектор размера  выходного изображения. Оценка с использованием обобщенной обратной матрицы записывается непосредственно как

,               (14.3.2)

где  - обратная матрица для матрицы . Из формул (9.4.4а) и (9.4.5б) легко получить

,             (14.3.3)

где  соответствует случаю переопределенной модели,  - выделяющая матрица (9.4.1). Подстановка в выражение (14.3.3) оператора преобразования Фурье  дает

,                       (14.3.4)

где  - матрица фильтра для спектрального вычисления свертки, определенная формулой (11.2.13).

Соотношения (14.3.4) и (11.2.13) составляют основу следующего эффективного вычислительного алгоритма реставрации изображений методом псевдообращения матриц в случае переопределенной модели:

а) Поместить матрицу импульсного отклика  в верхний левый угол нулевой матрицы размера  для получения расширенной матрицы импульсного отклика  и подвергнуть эту расширенную матрицу двумерному преобразованию Фурье, что дает

.                    (14.3.5)

б) Поместить матрицу наблюдаемого изображения  в верхний левый угол нулевой матрицы размера  для получения матрицы  и подвергнуть полученную матрицу двумерному преобразованию Фурье, что дает

.                    (14.3.6)

в) Произвести скалярное деление

,              (14.3.7)

где  и .

г) Вычислить обратное преобразование Фурье

.                  (14.3.8)

д) Выделить искомую матрицу выходного изображения

.                   (14.3.9)

При использовании этого алгоритма требуется выполнить порядка  операций, чтобы вычислить псевдообращенную матрицу методом конечной свертки. Прямое вычисление потребовало бы около  операций. При  и  число операций уменьшается почти в 1750 раз!

Следует отметить, что алгоритм дискретного псевдообращения матриц обходит одну из главных проблем инверсной фильтрации непрерывного изображения: деление на нулевые значения непрерывной частотной характеристики. Ни один элемент матрицы дискретной частотной характеристики, определенной формулой (14.3.5), не может тождественно равняться нулю, если размер  двумерного импульсного отклика представляет собой нечетное целое число, а размер  обрабатываемого массива является четным числом. В предельном случае, когда импульсный отклик  постоянный, получается дискретная частотная характеристика вида

,                (14.3.10)

при . Эта функция принимает нулевые значения только на нецелочисленных пространственных частотах  и , поскольку  четно, а  нечетно.