14.3.2. АЛГОРИТМ ДЛЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННОЙ МОДЕЛИ

К сожалению, для недоопределенной модели не существует аналога соотношения (14.3.4), описывающего псевдообращение, поскольку, как пояснено в разд. 9.4,  невозможно выделить из , если  представляет недоопределенную систему уравнений. Однако можно видоизменить наблюдаемое нерезкое изображение  и благодаря этому сократить объем вычислений, что возможно в случае переопределенной модели. Для упрощения пояснений первоначально ограничимся рассмотрением одномерного примера.

Пусть вектор  размера  и вектор  размера  сформированы из векторов  и  отбрасыванием  крайних элементов соответствующего вектора. Можно сказать, что усеченный вектор есть результат действия оператора выделения элементов, т. е.

,               (14.3.11)

где , и

,              (14.3.12)

где . Рис. 14.3.1,а иллюстрирует соотношение между рассматриваемыми векторами для  (число элементов исходного вектора),  (число элементов наблюдаемого вектора) и  (число элементов импульсного отклика).

Из векторов  и  получаются расширенные векторы  и , связанные следующим матричным уравнением:

,                      (14.3.13а)

или

.                   (14.3.13б)

Как видно из рис. 14.3.1,б, вектор  идентичен вектору наблюдаемого изображения  при учете только  его центральных элементов, причем . Остальные элементы  можно аппроксимировать следующим образом:

,                (14.3.14)

где  - так называемая экстраполирующая матрица, которую мы определим ниже. Из формул (14.3.13) и (14.3.14) можно получить оценку  в виде

                (14.3.15а)

или

.                (14.3.15б)

Алгебраическое сходство формул (14.3.2) и (14.3.15) позволяет непосредственно записать выражение для оценки как

.                       (14.3.16)

Таким образом, вычислительный алгоритм для недоопределенной модели не будет отличаться от алгоритма (14.3.5)-(14.3.9) для переопределенной модели, если на этапе (б) матрицу наблюдаемого изображения  в выражении (14.3.6) заменить матрицей .

Рис. 14.3.1. Примеры вычисления одномерной свертки.

а - непрерывная свертка с дискретизацией; б - дискретная свертка.

Экстраполирующая матрица  предназначена для видоизменения элементов наблюдаемого изображения  таким образом, чтобы они аппроксимировали элементы . В рассматриваемом одномерном случае (см. рис. 14.3.1) справедливы следующие соотношения:

                     (14.3.17)

Поскольку значения  неизвестны, систему уравнений (14.3.17) нельзя решить непосредственно. Однако можно принять допущение о непрерывности вектора исходных данных, согласно которому

              (14.3.18а)

и

,                     (14.3.18б)

и определить

,               (14.3.19а)

,                   (14.3.19б)

где . Аналогичные уравнения существуют для  и . В результате получаем экстраполирующую матрицу простого вида

,                     (14.3.20)

где  и  - подматрицы размера , найденные с помощью уравнений (14.3.17) или их обобщений [20].

Рис. 14.3.2 иллюстрирует результат машинного моделирования алгоритма реставрации изображений методом псевдообращения матриц для недоопределенной модели в случае одномерной нерезкости. На первом этапе моделирования были отобраны  центральных элементов исходного изображения и на их основе сформирована совокупность векторов усеченного изображения  (рис. 14.3.2,б). Затем эти векторы были преобразованы с помощью гауссова импульсного отклика с  для моделирования нерезкости наблюдаемого изображения (рис. 14.3.2,в). Вид нерезкого изображения после обработки оператором экстраполяции  показан на рис. 14.3.2,г. На рис. 14.3.2,д,е представлены варианты исправленного изображения без обработки и с обработкой оператором экстраполяции. Полученные изображения наглядно демонстрируют важность экстраполяции. Если эта операция не производится, погрешности измерения на краях наблюдаемого изображения вызывают полное разрушение краев исправленного изображения. Напротив, реставрация с экстраполяцией обеспечивает вполне удовлетворительное субъективное качество изображения. Рис. 14.3.3 иллюстрирует результаты машинного эксперимента при повышенной нерезкости , когда плохая обусловленность матрицы нерезкости становится сильно выраженной. При формировании видоизмененного наблюдаемого изображения посредством экстраполяции возникает большая остаточная ошибка, приводящая к непригодной оценке (рис. 14.3.3,б). На рис. 14.3.3,г демонстрируется положительный эффект алгоритма реставрации методом псевдообращения матриц в случае горизонтальной нерезкости, вызванной движением (рис. 14.3.3,в). Поскольку в этом эксперименте импульсный отклик имеет прямоугольную форму, соответствующая матрица нерезкости обусловлена лучше, чем аналогичная матрица для гауссова импульсного отклика.

Рис. 14.3.2. Образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц при незначительной гауссовой нерезкости .

а - исходное изображение (вектор ); б - усеченное изображение (вектор ); в - наблюдаемое изображение (вектор ); г - наблюдаемое изображение, обработанное оператором экстраполяции (вектор ); д - исправленное изображение без экстраполяции (вектор ); е - исправленное изображение с экстраполяцией (вектор ).

Рис. 14.3.3. Образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц при средней и повышенной гауссовой нерезкости .

а - наблюдаемое изображение ; б - исправленное изображение а ; в - наблюдаемое изображение  с нерезкостью, вызванной равномерным движением ; г - исправленное изображение в .