14.4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯКак показано в гл. 5, любое дискретное изображение в матричной форме можно представить в виде ряда «собственных изображений», прибегнув к сингулярному разложению. Такой подход был применен для реставрации изображений [24-27]. В этом случае используется сингулярное разложение матрицы нерезкости, входящей в уравнение изображающей системы
Согласно формуле (5.2.3), матрицу нерезкости можно выразить в виде
где матрица
где Поскольку
Рис. 14.4.1 иллюстрирует сингулярное разложение матрицы нерезкости. С помощью матрицы
или
где учитывается тот факт, что скалярное произведение
Одним из принципиальных достоинств последовательного подхода является то, что он позволяет решить проблему плохой обусловленности, которая обычно возникает только при высоком порядке сингулярных значений. При проведении реставрации в режиме диалога всегда можно прекратить разложение до появления ошибок, обусловленных неустойчивостью вычислительного процесса. Рис. 14.4.1. Изображения, соответствующие различным членам сингулярного разложения матрицы нерезкости а) На рис. 14.4.2 представлены образцы изображений, получаемых на различных этапах реставрации с использованием сингулярного разложения испытательного изображения, представленного на рис. 13.7.3 (недоопределенная модель с плохо обусловленной матрицей гауссовой нерезкости). Результатом одношагового псевдообращения матрицы является изображение, полностью разрушенное ошибками вычислений. На шестом этапе обеспечивается наилучшее субъективное качество исправленного изображения, которое заметно лучше нерезкого исходного изображения. Тем не менее самая малая ошибка по критерию наименьших квадратов достигается при трех сингулярных значениях. Рис. 14.4.2. Образцы испытательных изображений, исправленных методом сингулярного разложения. Нерезкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы а - 8 сингулярных значений (СЗ). Возможности метода реставрации изображений на основе сингулярного разложения в соответствии с формулами (14.4.5) и (14.4.6) ограничены главным образом сложностью вычислений. Сначала определяются собственные векторы Вычислительный алгоритм на основе псевдообращения матриц, описанный в предыдущем разделе, удается приспособить для решения задачи реставрации изображений на основе сингулярного разложения в особом случае пространственно-инвариантной нерезкости [21]. Пользуясь моделью, определяемой формулой (14.3.13)
можно получить сингулярное разложение циклической матрицы
где
и
Поскольку
преобразования Фурье при
где В соответствии с формулой (14.4.5) можно записать
где
Не во всех случаях необходимо полностью отбрасывать высокочастотные члены, чтобы избежать ошибок вследствие плохой обусловленности. Усечение можно заменить альтернативным методом, при котором диагональные нулевые элементы заменяются элементами в виде На рис. 14.4.3 приведены образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц на основе сингулярного разложения при одномерной гауссовой нерезкости Рис. 14.4.3. Образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц с использованием сингулярного разложения при одномерной (горизонтальной) гауссовой нерезкости а - наблюдаемое нерезкое изображение; б - исправленное изображение при
|