14.4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ

Как показано в гл. 5, любое дискретное изображение в матричной форме можно представить в виде ряда «собственных изображений», прибегнув к сингулярному разложению. Такой подход был применен для реставрации изображений [24-27]. В этом случае используется сингулярное разложение матрицы нерезкости, входящей в уравнение изображающей системы

. (14.4.1)

Согласно формуле (5.2.3), матрицу нерезкости можно выразить в виде

, (14.4.2)

где матрица размера и матрица размера - унитарные матрицы, составленные из собственных векторов матриц и соответственно, - матрица размера , диагональные элементы которой представляют собой собственные значения матриц и . Ортогональность и позволяет представить матрицу нерезкости в виде ряда

, (14.4.3)

где и - -e столбцы и соответственно, - ранг матрицы .

Поскольку и являются унитарными матрицами, исходя из формулы (14.4.2) можно записать выражение для обобщенной обратной матрицы:

. (14.4.4)

Рис. 14.4.1 иллюстрирует сингулярное разложение матрицы нерезкости. С помощью матрицы можно получить

, (14.4.5а)

или

, (14.4.5б)

где учитывается тот факт, что скалярное произведение дает в результате скаляр. Последнее уравнение лежит в основе последовательного оценивания: -я оценка

. (14.4.6)

Одним из принципиальных достоинств последовательного подхода является то, что он позволяет решить проблему плохой обусловленности, которая обычно возникает только при высоком порядке сингулярных значений. При проведении реставрации в режиме диалога всегда можно прекратить разложение до появления ошибок, обусловленных неустойчивостью вычислительного процесса.

Рис. 14.4.1. Изображения, соответствующие различным членам сингулярного разложения матрицы нерезкости .

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .

На рис. 14.4.2 представлены образцы изображений, получаемых на различных этапах реставрации с использованием сингулярного разложения испытательного изображения, представленного на рис. 13.7.3 (недоопределенная модель с плохо обусловленной матрицей гауссовой нерезкости). Результатом одношагового псевдообращения матрицы является изображение, полностью разрушенное ошибками вычислений. На шестом этапе обеспечивается наилучшее субъективное качество исправленного изображения, которое заметно лучше нерезкого исходного изображения. Тем не менее самая малая ошибка по критерию наименьших квадратов достигается при трех сингулярных значениях.

Рис. 14.4.2. Образцы испытательных изображений, исправленных методом сингулярного разложения. Нерезкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы . Случай недоопределенной модели . Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы).

а - 8 сингулярных значений (СЗ). ; б - 7 С3, ; в - 6 СЗ, ; г - 5 СЗ, ; д - 4 СЗ, ; е - 3 СЗ, ; ж - 2 СЗ, ; з - 1 СЗ, .

Возможности метода реставрации изображений на основе сингулярного разложения в соответствии с формулами (14.4.5) и (14.4.6) ограничены главным образом сложностью вычислений. Сначала определяются собственные векторы и матриц и . Затем проводятся векторные вычисления согласно формулам (14.4.5) и (14.4.6). Даже если матрицу можно представить в виде прямого произведения, что позволяет производить раздельное псевдообращение строк и столбцов, вычисления в общем случае оказываются чрезвычайно трудоемкими.

Вычислительный алгоритм на основе псевдообращения матриц, описанный в предыдущем разделе, удается приспособить для решения задачи реставрации изображений на основе сингулярного разложения в особом случае пространственно-инвариантной нерезкости [21]. Пользуясь моделью, определяемой формулой (14.3.13)

, (14.4.7)

можно получить сингулярное разложение циклической матрицы :

, (14.4.8)

где и - унитарные матрицы, определяемые соотношениями

(14.4.9а)

. (14.4.9б)

Поскольку - циклическая матрица, также является циклической матрицей. Следовательно, и должны быть эквивалентны матрице преобразования Фурье (или ), так как эта матрица производит диагонализацию циклической матрицы. С целью стандартизации примем . В результате получим собственные векторы - строки матриц и - в виде комплексных экспоненциальных базисных функций

(14.4.10)

преобразования Фурье при . Более того, находим

, (14.4.11)

где - матрица двумерной циклической свертки в спектральной области.

В соответствии с формулой (14.4.5) можно записать

, (14.4.12)

где - видоизмененное наблюдаемое нерезкое изображение, заданное выражениями (14.3.14) и (14.3.15). Можно заметить, что формула (14.4.12) является точным эквивалентом формулы (14.3.16), которая определяет оценку на основе псевдообращения в спектральной области. Последовательная реставрация с использованием сингулярного разложения, аналогичная процедуре в соответствии с формулой (14.4.6), описывается уравнением (14.4.12) при замене в нем матрицы псевдообращения оператором

. (14.4.13)

Не во всех случаях необходимо полностью отбрасывать высокочастотные члены, чтобы избежать ошибок вследствие плохой обусловленности. Усечение можно заменить альтернативным методом, при котором диагональные нулевые элементы заменяются элементами в виде или даже некоторой последовательностью, убывающей по мере повышения частоты. По существу этот прием аналогичен методу усеченной инверсной фильтрации согласно формуле (14.1.11) для непрерывных изображений.

На рис. 14.4.3 приведены образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц на основе сингулярного разложения при одномерной гауссовой нерезкости . Следует отметить, что попытка реставрировать нерезкое изображение методом обычного псевдообращения приводит к недопустимо большим ошибкам из-за плохой обусловленности даже при коэффициенте нерезкости (рис. 14.3.3,б).

Рис. 14.4.3. Образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц с использованием сингулярного разложения при одномерной (горизонтальной) гауссовой нерезкости .

а - наблюдаемое нерезкое изображение; б - исправленное изображение при ; в - исправленное изображение а при .