14.5. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ РЕГРЕССИИ

Методы реставрации изображений на основе псевдообращения матриц имеют одно принципиальное ограничение: шум наблюдаемого изображения может стать причиной резко выраженной неустойчивости вычислительного процесса и сделать непригодной полученную оценку изображения. При решении ряда задач эту проблему можно обойти, прибегнув к методам реставрации на основе регрессии, использующим определенную априорную информацию о статистических свойствах наблюдаемого шума [19].

Рассмотрим матричное уравнение

,                 (14.5.1)

описывающее нерезкое изображение с аддитивным шумом, где  - матрица нерезкости размера ; предполагается, что шум имеет нулевое среднее значение и известную ковариационную матрицу . Метод реставрации на основе регрессии предусматривает нахождение оценки

,                     (14.5.2)

где  - реставрирующая матрица, минимизирующая взвешенную ошибку

.                     (14.5.3)

Ошибку реставрации можно минимизировать классическим методом приравнивания нулю частной производной  по . Таким образом,

.             (14.5.4)

Если , а обратная матрица относительно  существует, результирующая реставрирующая матрица принимает вид

.                 (14.5.5)

Полученный оператор реставрации применим к переопределенной модели наблюдаемого изображения. Если шум белый с дисперсией ,  и матрица регрессии становится обобщенной обратной матрицей (14.2.9а) ранга , соответствующей переопределенной системе.

Можно показать [25], что в случае недоопределенной модели  оценка на основе регрессии имеет вид

,             (14.5.6)

где  - произвольный вектор,  - матрица, определяемая соотношением

.                (14.5.7)

 - ковариационная матрица шума. Таким образом, в недоопределенной модели реставрации оценка не является единственной. Оценка с наименьшей нормой есть просто

,                (14.5.8)

поэтому результирующий оператор реставрации на основе регрессии сводится к

.                (14.5.9)

Если шум белый,  и этот оператор принимает вид обобщенной обратной матрицы (14.2.9б) ранга  для недоопределенной модели.