14.6. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ВИНЕРОВСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ

При использовании метода пространственной реставрации изображений на основе регрессии шумовое поле моделируется некоторой реализацией двумерного случайного процесса с известными средним и ковариационной функцией. В методах винеровской оценки, кроме того, предполагается, что идеальное изображение также является реализацией двумерного случайного процесса с известными первым и вторым моментами [19, 20, 29].

14.6.1. ВИНЕРОВСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

Рассмотрим обобщенную дискретную модель, представленную на рис. 14.6.1, в которой вектор изображения  размера  подвергается каким-либо искажениям (поэлементным и пространственным), в результате чего образуется вектор размера  наблюдаемого изображения . Формируемая оценка  описывается линейной операцией вида

,               (14.6.1)

где  - реставрирующая матрица размера ,  - вектор смещения оценки размера . Цель винеровского оценивания сводится к выбору  и , минимизирующих среднеквадратическую ошибку реставрации, которую можно определить как

                      (14.6.2а)

или

.               (14.6.2б)

В формуле (14.6.2а) ошибка определена через скалярное произведение и равна сумме квадратов элементов вектора ошибки ; формула (14.6.26) предусматривает составление ковариационной матрицы вектора ошибки и последующее суммирование ее дисперсий (диагональных элементов) при нахождении следа. Независимо от способа представления ошибки (14.6.2) ее можно минимизировать, дифференцируя  по . Другой подход, обладающий универсальной полезностью, основан на использовании принципа ортогональности [30, стр. 219]: с его помощью находят значения  и , минимизирующие среднеквадратическую ошибку. В теории реставрации изображений принцип ортогональности позволяет сформулировать следующие два необходимых и достаточных условия минимизации среднеквадратической ошибки реставрации:

1. Математическое ожидание оценки изображения должно быть равно математическому ожиданию исходного изображения, т. е.

.             (14.6.3)

2. Ошибка реставрации должна быть ортогональна к «центрированному» наблюдаемому изображению относительно его среднего, т. е.

.              (14.6.4)

Рис. 14.6.1. Пространственная реставрация изображений методом винеровского оценивания.

Из условий 1 и 2 получаем

                                    (14.6.5)

и

     (14.6.6)

соответственно. Подстановка в формулу (14.6.6) выражения (14.6.5) для вектора смещения ошибки  дает после ряда упрощений

,                                       (14.6.7)

где  - ковариационная матрица размера  вектора наблюдаемого изображения (которая предполагается невырожденной),  - взаимно ковариационная матрица размера  для исходного и наблюдаемого изображений. Таким образом, оптимальный вектор смещения  и реставрирующую матрицу  можно определить непосредственно по смешанным моментам первого и второго порядка векторов идеального и наблюдаемого изображений. Следует отметить, что найденное решение справедливо для нелинейных и пространственно-зависимых искажений. Следующие разделы посвящены отдельным частным случаям применения винеровского оценивания.