14.7. МЕТОДЫ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ СО СГЛАЖИВАНИЕМ

Проблемы плохой обусловленности, возникающие при реставрации изображений, иногда удается преодолеть, прибегая к методам сглаживания и регуляризации [31-33], которые в основном связаны с введением меры гладкости решений, полученных методом наименьших квадратов.

Методы сглаживания имеют две формулировки [19]. Согласно первой из них, ищется минимум величины  при ограничении

,      (14.7.1)

где  - сглаживающая матрица,  - матрица взвешивания ошибки,  - остаточная скалярная ошибка оценки. Матрица  часто выбирается равной обратной матрице относительно ковариационной матрицы шума, т. е. . Обычной формой сглаживающей матрицы является матрица

,                  (14.7.2)

где

                (14.7.3)

есть одномерный линейный оператор, формирующий скользящее окно для получения оценки. Условный минимум гладкости совпадает с минимумом функции Лагранжа

.     (14.7.4)

Вычисляя производные по  и  и приравнивая их нулю, находим оценки

         (14.7.5а)

и

            (14.7.5б)

для несингулярной переопределенной и несингулярной недоопределенной систем соответственно. В выражениях (14.7.5) лагранжев коэффициент  должен удовлетворять условию (14.7.1), т. е. предполагается, что достигается компромисс между остаточной ошибкой и гладкостью оценки.

Теперь рассмотрим вторую формулировку. В этом случае решается задача минимизации среднеквадратической ошибки  при ограничении

,        (14.7.6)

где  - скаляр, соответствующий фиксированной гладкости. Функция Лагранжа принимает вид

.      (14.7.7)

По этому уравнению находится оптимальное решение для переопределенной несингулярной системы:

.   (14.7.8а)

Оценка для недоопределенной системы принимает вид

.     (14.7.8б)

Сравнение формул (14.7.5) и (14.7.8) показывает, что для обеих взаимно обратных задач получаются решения, которые различаются только взаимно обратными множителями Лагранжа.

Оценки (14.7.8), полученные методом сглаживания, имеют близкое сходство с оценками на основе регрессии и винеровскими оценками, найденными выше. При ,  и , где  - ковариационная матрица шума, оценки, полученные методами сглаживания и регрессии, становятся эквивалентными. При ,  и , где  - ковариационная матрица изображения, оценка, полученная методом сглаживания, эквивалентна винеровской оценке. Это сходство позволяет объяснить, почему реставрация методом регрессии и винеровская реставрация обеспечивают более гладкие оценки, чем реставрация методом псевдообращения матриц. При использовании методов сглаживания и регуляризации смещение решения удается определить только в виде функциональной зависимости от , даже если можно вычислить дисперсию решения.

Как уже указывалось, Хант [18] разработал фильтр для реставрации изображений в спектральной области с использованием критерия наименьших квадратов, имеющий частотную характеристику (14.1.22). Это выражение можно использовать как основу быстрого вычислительного алгоритма для осуществления процедуры реставрации с использованием сглаживания согласно (14.7.8), если соответствующим образом доопределить наблюдаемый вектор .