17.3. ПРОСТРАНСТВЕННО-СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ

Спектральные коэффициенты, найденные в результате двумерного преобразования, определяют веса базисных изображений (двумерных базисных функций), соответствующих этому преобразованию, при которых взвешенная сумма базисных функций идентична изображению. Можно считать, что эти коэффициенты показывают степень корреляции соответствующих базисных функций с изображением. Если базисное изображение имеет ту же пространственную форму, что и признак, который необходимо обнаружить на изображении, то обнаружение признака можно выполнить просто путем наблюдения значения соответствующего спектрального коэффициента. Практическая сложность состоит в том, что объекты, которые необходимо обнаружить, часто имеют сложные форму и распределение яркостей и, следовательно, не соответствуют точно более простым яркостным образам, которые представляются базисными функциями большинства преобразований.

Лендерис и Стенли [3, 4] исследовали применение непрерывного двумерного преобразования Фурье, полученного с помощью когерентно-оптического устройства, для выделения признаков изображения. Оптическая система создает электрическое поле, пропорциональное спектру

, (17.3.1)

где - пространственные частоты. Оптическое считывающее устройство дает на выходе функции

, (17.3.2)

значения которых пропорциональны интенсивности спектра. Следует отметить, что функции и представляют собой пару, связанную однозначным преобразованием, тогда как функция неоднозначно связана с . Например, функция не изменяется, если начало координат на плоскости исходного изображения сдвигается.

Рис. 17.3.1. Маски спектральных признаков.

Для некоторых применений инвариантность функции относительно сдвига может оказаться достоинством. Интегрирование функции по углу на плоскости пространственных частот дает пространственно-частотный признак, инвариантный относительно сдвига и вращения. Представив функцию в полярных координатах, получим этот признак в следующем виде:

, (17.3.3)

где и . Инвариантностью относительно изменения масштаба обладает признак

. (17.3.4)

Если входное изображение имеет ограниченные размеры, то поле , полученное в результате преобразования Фурье, будет затухать в пределах определенного диапазона. Можно легко показать, что если функцию умножить на функцию окна , которая равна единице внутри некоторого прямоугольника и нулю вне его, то Фурье-спектр этого произведения равен свертке с Фурье-спектром функции окна . Затухание, вызванное ограниченными размерами окна, следует учитывать при определении относительных значений коэффициентов Фурье на различных пространственных частотах.

Для выделения признаков изображения яркостный образ обычно рассматривается в областях специфической формы. В качестве примера на рис. 17.3.1 определены области для следующих признаков Фурье:

Горизонтальная щель

. (17.3.5)

Вертикальная щель

. (17.3.6)

Кольцо

. (17.3.7)

Сектор

. (17.3.8)

Для дискретного изображения, описываемого массивом чисел , в качестве источника признаков можно рассматривать непосредственно дискретный спектр Фурье

(17.3.9)

при . В этом случае признаки для горизонтальной щели, вертикальной щели, кольца и сектора можно определить аналогично выражениям (17.3.5)-(17.3.8). Описанную идею можно распространить также и на другие унитарные преобразования, такие, как преобразование Адамара и преобразование Хаара. На рис. 17.3.2 представлены распределения значений логарифма модуля спектра Фурье для нескольких геометрических форм.

Рис. 17.3.2. Примеры дискретного спектра Фурье различных объектов. Показано распределение значений логарифма модуля спектра Фурье для .

а – прямоугольник; б – эллипс; в – треугольник.

Выделение признаков, представленных в виде спектральных коэффициентов, было исследовано в различных практических задачах, в которых эти признаки использовались в качестве входных данных для системы распознавания образов. Спектральные признаки находят широкое применение — от классификации земельных ресурсов [5] до диагностики болезней по рентгеновским снимкам [6-8].