19.4. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Согласованный фильтр, предназначенный для обнаружения объектов, можно применять не только к непрерывным, но и к дискретным изображениям. Один из возможных подходов состоит в дискретизации непрерывной частотной характеристики согласованного фильтра (19.2.7) при помощи методов, описанных в разд. 11.4. Можно также разработать дискретный согласованный фильтр, используя векторное представление изображений [13, 14]. Такой подход, рассмотренный в настоящем разделе, представляется более целесообразным, так как он применим к нестационарным изображению и шуму. Кроме того, можно успешно бороться с краевыми эффектами, возникающими на границе изображений.

Рассмотрим наблюдаемое изображение в векторной форме, которое состоит из суммы вектора , представляющего детерминированное изображение, и вектора шума :

                                      (19.4.1а)

или же только из шума

.                                             (19.4.1б)

Дискретная согласованная фильтрация осуществляется следующим образом: формируется скалярное произведение вектора  и вектора , описывающего импульсный отклик согласованного фильтра ; в результате получается скаляр

.                                    (19.4.2)

Вектор  выбирается так, чтобы максимизировать отношение сигнал/шум. Мощность сигнала при отсутствии шума определяется как

,                                                  (19.4.3)

а мощность шума

,     (19.4.4)

где  - ковариационная матрица шума. Следовательно, отношение сигнал/шум равно

.                           (19.4.5)

Оптимальный вектор  можно определить, дифференцируя по m отношение сигнал/шум, заданное формулой (19.4.5), и приравнивая затем получающиеся производные нулю. Эти операции непосредственно приводят к соотношению

,                            (19.4.6)

где выражение в квадратных скобках - скаляр, который при соответствующей нормировке равняется единице. Таким образом,

.                                           (19.4.7)

В случае белого шума действие согласованного фильтра сводится к определению скалярного произведения векторов  и . В общем случае ковариационную матрицу шума можно представить в виде произведения матриц

,                                                     (19.4.8)

где матрица ,  - матрица, составленная из собственных векторов матрицы , а  - диагональная матрица соответствующих собственных значений [14]. Результат фильтрации можно рассматривать как скалярное произведение вектора  и неизвестного вектора , подвергнутых «отбеливанию» путем умножения на матрицу :

.                        (19.4.9)

Предыдущий вывод непосредственно распространяется на обнаружение случайных векторов. Выражение для энергии сигнала (19.4.3) принимает вид

,                                                (19.4.10)

где  - вектор, компонентами которого являются средние значения компонент вектора , а дисперсия на выходе согласованного фильтра равна

                            (19.4.11)

в предположении независимости  и . Получающееся в результате отношение сигнал/шум имеет максимальное значение при

.                                 (19.4.12)

Для получения согласованной фильтрации скалярное произведение векторов  и  можно определить непосредственно, используя соотношение (19.4.2) или же выражение (19.4.9), где , а  и  - матрицы соответственно собственных векторов и собственных значений  [14]. В частном, но достаточно распространенном случае белого шума и ковариационной матрицы разделимого марковского процесса первого порядка операцию «отбеливания» можно выполнить с помощью разработанного для винеровской фильтрации [15] эффективного алгоритма, в котором используется преобразование Фурье.