19.4. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Согласованный фильтр, предназначенный для обнаружения объектов, можно применять не только к непрерывным, но и к дискретным изображениям. Один из возможных подходов состоит в дискретизации непрерывной частотной характеристики согласованного фильтра (19.2.7) при помощи методов, описанных в разд. 11.4. Можно также разработать дискретный согласованный фильтр, используя векторное представление изображений [13, 14]. Такой подход, рассмотренный в настоящем разделе, представляется более целесообразным, так как он применим к нестационарным изображению и шуму. Кроме того, можно успешно бороться с краевыми эффектами, возникающими на границе изображений.
Рассмотрим наблюдаемое изображение в векторной форме, которое состоит из суммы вектора
, представляющего детерминированное изображение, и вектора шума
:
(19.4.1а)
или же только из шума
. (19.4.1б)
Дискретная согласованная фильтрация осуществляется следующим образом: формируется скалярное произведение вектора
и вектора
, описывающего импульсный отклик согласованного фильтра
; в результате получается скаляр
. (19.4.2)
Вектор
выбирается так, чтобы максимизировать отношение сигнал/шум. Мощность сигнала при отсутствии шума определяется как
, (19.4.3)
а мощность шума
, (19.4.4)
где
- ковариационная матрица шума. Следовательно, отношение сигнал/шум равно
. (19.4.5)
Оптимальный вектор
можно определить, дифференцируя по m отношение сигнал/шум, заданное формулой (19.4.5), и приравнивая затем получающиеся производные нулю. Эти операции непосредственно приводят к соотношению
, (19.4.6)
где выражение в квадратных скобках - скаляр, который при соответствующей нормировке равняется единице. Таким образом,
. (19.4.7)
В случае белого шума действие согласованного фильтра сводится к определению скалярного произведения векторов
и
. В общем случае ковариационную матрицу шума можно представить в виде произведения матриц
, (19.4.8)
где матрица
,
- матрица, составленная из собственных векторов матрицы
, а
- диагональная матрица соответствующих собственных значений [14]. Результат фильтрации можно рассматривать как скалярное произведение вектора
и неизвестного вектора
, подвергнутых «отбеливанию» путем умножения на матрицу
:
. (19.4.9)
Предыдущий вывод непосредственно распространяется на обнаружение случайных векторов. Выражение для энергии сигнала (19.4.3) принимает вид
, (19.4.10)
где
- вектор, компонентами которого являются средние значения компонент вектора
, а дисперсия на выходе согласованного фильтра равна
(19.4.11)
в предположении независимости
и
. Получающееся в результате отношение сигнал/шум имеет максимальное значение при
. (19.4.12)
Для получения согласованной фильтрации скалярное произведение векторов
и
можно определить непосредственно, используя соотношение (19.4.2) или же выражение (19.4.9), где
, а
и
- матрицы соответственно собственных векторов и собственных значений
[14]. В частном, но достаточно распространенном случае белого шума и ковариационной матрицы разделимого марковского процесса первого порядка операцию «отбеливания» можно выполнить с помощью разработанного для винеровской фильтрации [15] эффективного алгоритма, в котором используется преобразование Фурье.