6. Множество нечетких подмножеств для конечных E и M

Ограничимся случаем, когда  и  - конечные множества. Напомним определение множества всех подмножеств данного множества на простом примере. Пусть

.                     (6.1)

Тогда

.             (6.2)

Это множество состоит из  элементов. В общем случае для множеств

                  (6.3)

можно таким же образом определить  элементов.

Для нечетких подмножеств множество всех подмножеств или «множество нечетких подмножеств» определяется иначе. Рассмотрим сначала пример. Пусть

                (6.4)

и

.                      (6.5)

Выпишем множество  нечетких подмножеств множества

      (6.6)

В общем случае, если

 и ,                 (6.6а)

где  означает «мощность», а в нашем случае - число элементов множества, то

.                    (6.7)

Отсюда следует, что  - конечное число тогда и только тогда, когда  и  конечны. Множество  содержит  обычных подмножеств.

Для лучшего сравнения с (6.2) рассмотрим другой пример:

 и .                 (6.8)

     (6.9)

Хорошо известно, что структура множества всех подмножеств  множества  представляет собой дистрибутивную решетку с дополнениями, т. е. булеву решетку. Однако множество нечетких подмножеств  наделено структурой векторной решетки, а точнее - дистрибутивной решетки без дополнений.

Напомним, что если дополнение элемента в дистрибутивной решетке существует, то оно единственно, то же справедливо для случая векторной решетки. Рассматриваемые в теории решеток дополнения имеют другой смысл - это не дополнение в смысле определения (5.17).

Дополнения, определяемые (5.17), не обязательно дают  и , в то время как это справедливо для дополнений в решетке. Все различие в этом и состоит, но различие это существенно.

На рис. 6.1-6.6 изображено несколько простых примеров, где для упрощения обозначений нечеткие подмножества представлены соответствующими им функциями принадлежности.

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

Рис. 6.3.

Рис. 6.4.

Рис. 6.5.

Рис. 6.6.

Рис. 6.2: , . На рисунке изображена векторная решетка нечетких подмножеств, а на рис. 6.1 - булева решетка обычных множеств.

Рис. 6.4: , . На рисунке изображена векторная решетка нечетких подмножеств, а на рис. 6.3 - булева решетка обычных множеств.

Рис. 6.6: это другое представление векторной решетки рис. 6.4, а слева на рис. 6.5 помешена булева решетка обычных множеств.