5. Простейшие операции над нечеткими подмножествами

Включение. Пусть - множество, - множество принадлежностей и и - два нечетких подмножества ; будем говорить, что содержится в , если

, (5.1)

и обозначать

(5.2)

или, если нужно избежать недоразумений,

. (5.3)

Последняя запись совершенно определенно указывает, что в данном случае включение понимается в смысле теории нечетких подмножеств.

Строгое включение соответствует случаю, когда в (5.1) по крайней мере одно неравенство строгое и обозначается

или . (5.4)

Рассмотрим три примера.

1. Пусть

, . (5.5)

. (5.6)

. (5.7)

Имеем

, так как , , , . (5.8)

2. Пусть

, , . (5.9)

Если

, (5.10)

то

. (5.11)

3. Пусть

, .

Можно записать

. (5.12)

Следовательно, также содержится само в себе в смысле теории нечетких подмножеств:

. (5.13)

И это свойство остается справедливым, каким бы ни было множество .

Равенство. Пусть - множество, - множество принадлежностей, и -две нечетких подмножества . Скажем, что и равны тогда и только тогда, когда

, (5.14)

и будем обозначать

. (5.15)

Если найдется по крайней мере один такой элемент из , что равенство не удовлетворяется, то мы будем говорить, что и не равны, и обозначать

. (5.16)

Дополнение. Пусть - множество, - множество принадлежностей, и - два нечетких подмножества ; скажем, что и дополняют друг друга, если

. (5.17)

Это будет обозначаться так:

или . (5.18)

Очевидно, что всегда

. (5.19)

Заметим, что здесь дополнение определено для , но его можно распространить на другие упорядоченные множества , используя другие подходящие определения.

Рассмотрим пример:

, . (5.20)

, (5.21)

Тогда очевидно

. (5.22)

Пересечение. Пусть - множество и - соответствующее ему множество принадлежностей, и - два нечетких подмножества ; пересечение

(5.23)

определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в и :

. (5.24)

Пример.

, (5.25)

. (5.26)

. (5.27)

. (5.28)

Кроме того, используя общее определение (5.23) и (5.24), можно записать

и . (5.29)

Это позволит ввести нечеткое «», которое обозначим «».

Таким образом, можно сказать: если - нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5, и - нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 10, то - нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5 10. Нечеткая конъюнкция произносится как ; за исключением того, где это необходимо, символ можно опускать.

Объединение. Пусть - множество и - соответствующее ему множество принадлежностей, и - два нечетких подмножества ; определим объединение

(5.30)

как наименьшее нечеткое подмножество, которое содержит как , так и :

. (5.31)

Вернувшись к примеру (5.25) - (5.27), получим

. (5.32)

Кроме того, в соответствии с общими определениями (5.30) и (5.31) можно записать

или . (5.33)

Это позволяет ввести нечеткое «или/и», которое будет обозначаться или/и. За исключением того, где это необходимо, символ опускается.

Таким образом, можно сказать: если - нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5, и - нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 10, то - нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5 к 10. Конъюнкция произносится как или/и.

Замечание. Если ошибка в интерпретации невозможна, будем писать «и» вместо «» и аналогично «или/и» вместо «».

Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивная сумма двух нечетких подмножеств определяется в терминах объединений и пересечений следующим образом:

. (5.34)

Эта операция соответствует «нечеткому дизъюнктивному или», где «» читается как «или» и пишется «или», если нет опасности ошибиться.

Рассмотрим тот же пример, который иллюстрировал операции объединения и пересечения:

, (5.35)

, (5.36)

, (5.37)

, (5.38)

, (5.39)

, (5.40)

. (5.41)

Разность. Разность определяется соотношением

. (5.42)

Рассмотрим опять пример (5.26) и (5.27), используя (5.38) и (5.39):

. (5.43)

Конечно, исключая частные случаи,

. (5.44)

Наглядное представление простейших операций с нечеткими подмножествами. Для нечетких подмножеств можно построить визуальное представление, родственное представлению обычных подмножеств (диаграмма Вьенна-Эйлера).

Рассмотрим прямоугольную систему координат (рис. 5.1), на оси ординат которой откладываются значения , а на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы (если по своей природе вполне упорядоченное множество, то такой же порядок должен сохраняться в расположении элементов на оси абсцисс). На рис. 5.1 принадлежность каждого элемента изображена его ординатой, заштрихованная часть наглядно изображает нечеткое подмножество .

Рис. 5.1.

Такое представление позволяет сделать зримыми простые операции на нечетких подмножествах. Ниже на нескольких рисунках будет показано, как используется это представление.

На рис. 5.2,а-в отражено свойство включения. Рис. 5.3,а-в иллюстрируют дополнение. Свойства объединения и пересечения отражены на рис. 5.4,а-г.

Рис. 5.2а.

Рис. 5.2б.

Рис. 5.2в.

Рис. 5.3а.

Рис. 5.3б.

Рис. 5.3в.

Рис. 5.4а.

Рис. 5.4б.

Рис. 5.4в.

Рис. 5.4г.

На рис. 5.5,а-ж представлены свойства разности и дизъюнктивной суммы .

Рис. 5.5а.

Рис. 5.5б.

Рис. 5.5в.

Рис. 5.5г.

Рис. 5.5д.

Рис. 5.5е.

Рис. 5.5ж.

Расстояние Хемминга. Сначала напомним, что понимают под расстоянием Хемминга в теории обычных подмножеств. Рассмотрим два обычных подмножества , и конечное множество

, (5.45)

. (5.46)

Под расстоянием Хемминга между и понимают величину

. (5.47)

Например, для и из (5.45) и (5.46) имеем

(5.48)

Читатель знает, что в математике слово «расстояние» нельзя использовать произвольно. Если мы хотим определить расстояние между любой парой элементов множества , то напомним, что должны выполняться следующие условия: :

1) - неотрицательность, (5.49)

2) - симметричность, (5.50)

3) - транзитивность, (5.51)

где - оператор, связанный с понятием расстояния.

К этим трем условиям можно добавить четвертое:

4) . (5.52)

Легко проверить, что расстояние Хемминга - действительно расстояние в смысле, определяемом условиями (5.49) - (5.51), если оператор (обычная сумма).

Для конечного множества мощности (т. е. - число элементов в ) определим также относительное расстояние Хемминга:

. (5.53)

Например, для и в (5.45) и (5.46) имеем

Очевидно, что всегда

. (5.54)

Для обобщения понятия расстояния Хемминга на случай не только обычных, но и нечетких подмножеств докажем две теоремы.

Теорема 1. Пусть , ; тогда

. (5.55)

Доказательство. Этот результат получается непосредственным суммированием левых и правых частей неравенств , .

Теорема 2. , ; тогда

. (5.56)

Доказательств o. Этот результат менее очевиден. Рассмотрим очевидное неравенство

. (5.57)

Разлагая сумму квадратов, имеем

, (5.58)

т. е.

. (5.59)

Добавив к обеим частям неравенства, получаем

, (5.60)

что можно переписать в таком виде:

, (5.61)

, (5.62)

. (5.63)

Добавив имеем

, (5.64)

что можно переписать в виде

(5.65)

или

. (5.66)

Однако по предположению

(5.67)

и, следовательно,

, (5.68)

что и требовалось доказать.

Обобщение понятия «расстояние Хемминга». Рассмотрим теперь три нечетких подмножества , - конечное множество мощности :

, (5.69)

, (5.70)

. (5.71)

Предположим, что мы определили расстояния между и для всех , а также для и . Тогда согласно (5.49) - (5.52) для этих расстояний справедливо неравенство

. (5.72)

Кроме того, по теоремам 1 (5.55) и 2 (5.56) можно записать

, (5.73)

. (5.74)

Эти две формулы дают две оценки расстояния между нечеткими подмножествами: первая - линейную оценку, вторая - квадратичную.

Рассмотрим случай, когда функции принадлежности нечетких подмножеств принимают свои значения в , т. е. когда в (5.69)-(5.71) , . Теперь положим

, , (5.75)

и по (5.73) и (5.74) определим два типа расстояний.

Обобщенное расстояние Хемминга, или линейное расстояние, определяется по формуле

. (5.76)

которая обобщает (5.47) на случай, когда

, , . (5.76а)

Очевидно, что

. (5.77)

Евклидово, или квадратичное, расстояние определяется по формуле

. (5.78)

Имеем

. (5.79)

Величина называется «евклидовой нормой»

. (5.80)

Определим несколько относительных расстояний.

Обобщенное относительное расстояние Хемминга:

. (5.81)

Можно проверить, что это действительно расстояние, удовлетворяющее условиям (5.49)-(5.52), и с учетом неравенства (5.73), которое не нарушается от деления обоих его членов на , имеем

. (5.82)

Следовательно, (5.81) является обобщением (5.53) для случая, когда .

Относительное евклидово расстояние:

. (5.83)

. (5.84)

называется относительной евклидовой нормой:

. (5.85)

Не удивительно, что в частном случае, когда ,

, (5.86)

. (5.87)

Эти равенства соответствуют булеву свойству

, . (5.88)

Таким образом, можно видеть, что (5.76) и (5.81) обобщают понятия расстояния Хемминга, абсолютного (5.47) и относительного (5.53); евклидову норму нельзя классифицировать как расстояние, поскольку эта норма не удовлетворяет неравенству (5.51), входящему в определение понятия расстояния.

Выбор того или иного расстояния - обобщенного (абсолютного или относительного) Хемминга или евклидова (абсолютного или относительного) зависит от природы рассматриваемой проблемы. Каждое из этих расстояний обладает своими преимуществами и недостатками, которые становятся очевидными в приложениях; мы займемся этим в г. III. Очевидно, что можно придумать и определить и другие расстояния.

Пример. Пусть

(5.89)

(5.90)

Имеем

(5.91)

; (5.92)

(5.93)

; (5.94)

. (5.95)

Случай бесконечного универсального множества. Расстояния , , а поэтому, очевидно, и норма могут быть определены и в случае, когда универсальное множество бесконечное (счетное или нет) с той, конечно, оговоркой, что соответствующие суммы сходятся.

Если - счетное, то пишут

, (5.96)

если этот ряд сходится.

Если , то пишут

, (5.97)

если этот интеграл сходящийся.

Аналогично (рис. 5.6)

, (5.98)

если ряд, стоящий под знаком корня, сходится;

, (5.99)

если интеграл сходящийся.

Рис. 5.6.

Как правило, и не используют в случае бесконечных множеств, однако, если необходимо, это можно сделать, используя другое определение или вводя другое понятие сходимости.

Если множество ограничено (сверху и снизу), то интеграл (5.97) сходится так же, как и (5.99); тогда и всегда конечны.

В этом случае всегда можно определить и (рис. 5.7):

, (5.100)

. (5.101)

Рис. 5.7.

Обычное подмножество, ближайшее к нечеткому. Зададимся следующим вопросом: какое обычное подмножество (или подмножества) расположено на наименьшем евклидовом расстоянии от данного нечеткого подмножества (или, если хотите, имеет наименьшую норму)?

Легко доказать, что это будет обычное множество (обозначим его ), такое, что

(5.102)

где «по определению» мы принимаем, что , если .

Пример. Пусть

. (5.103)

Тогда имеем . (5.104)

Индекс нечеткости. Помимо уже указанных можно рассмотреть еще два индекса нечеткости: линейный индекс нечеткости, определяемый посредством обобщенного относительного расстояния Хемминга, и квадратичный индекс нечеткости, определяемый посредством относительного евклидова расстояния. Обозначим их и соответственно:

, (5.105)

. (5.106)

Число 2 появилось в числителе для того, чтобы получить

(5.107)

, (5.108)

так как

(5.109)

. (5.110)

Понятие подмножества, ближайшего к данному нечеткому подмножеству, и понятие индекса нечеткости можно распространить на случай бесконечного универсального множества с оговоркой (например, относительно индекса нечеткости), что все рассматриваемые ряды сходящиеся. Рассмотрим случай, когда множество .

На рис. 5.8 показано, как определить ближайшее обычное множество и индекс нечеткости. Например, по формуле (5.105) получаем

. (5.111)

Рис. 5.8.

Основные свойства, связанные с ближайшим обычным множеством. Легко проверить следующие свойства:

, (5.112)

. (5.113)

Другое интересное свойство

(5.115)

доказывается на основе свойств (5.102).

Рассмотрим пример, используя (5.103) и (5.104):

, (5.116)

. (5.117)

Нечеткое подмножество с функцией принадлежности иногда называют векторным индикатором нечеткости. Таким образом, для (5.103) имеем

. (5.118)

Формулу (5.105) можно переписать в более удобном виде:

. (5.119)

И снова имеем

. (5.120)

Можно задать следующий интересный вопрос: пусть и - два нечетких подмножества одного и того же множества ; больше (или меньше) ли индексы нечеткости или , чем или/и ?

Следующие примеры показывают, что, к сожалению, ничего определенного по этому поводу сказать нельзя.

, , , (5.121)

, , . (5.122)

To же самое справедливо относительно . Аналогичные утверждения справедливы и для .

Поскольку мы убедились, что нечеткое подмножество и его дополнение имеют один и тот же индекс нечеткости, то, очевидно, что ни одна из операций не дает какого-нибудь систематического эффекта увеличения и понижения нечеткости.

Оценка нечеткости через энтропию. Ограничимся здесь рассмотрением конечного универсального множества. Мы знаем, что энтропия системы измеряет степень беспорядка компонентов системы относительно вероятностей состояния.

Рассмотрим состояний системы, с которыми связаны вероятности ; тогда энтропия системы определяется выражением

. (5.123)

Легко показать, что

( минимально) при , ; , . (5.124)

( максимально) при . (5.125)

Если мы воспользуемся формулой

, (5.126)

то энтропия будет величиной, изменяющейся между 0 и 1:

и . (5.127)

Посмотрим, как использовать это понятие для оценки нечеткости подмножества. Рассмотрим нечеткое подмножество

, , , , , . (5.128)

Положив

, (5.129)

получим

, , , , , . (5.130)

Тогда

(5.131)

Общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечеткости, можно записать в виде

. (5.132)

Заметим, что метод подсчета нечеткости через энтропию зависит не непосредственно от значений функции принадлежности, а от их относительных значений. Таким образом, два нечетких подмножества

, (5.133)

, (5.134)

имеют одну и ту же энтропию. То же справедливо и для обычного подмножества

. (5.135)

Все обычные подмножества с единственным ненулевым элементом имеют энтропию 0. Наконец, пустое подмножество всегда имеет энтропию, равную 1.

Энтропия хотя и может использоваться в теории нечетких подмножеств, но это не очень хороший показатель. Энтропия - понятие теории вероятностей - совсем другой теории, и она будет изучаться позже (в § 40). Иногда между теорией нечетких подмножеств и теорией вероятностей возможно некоторое сближение, но только иногда.

Обычное подмножество -уровня. Пусть ; подмножеством -уровня нечеткого подмножества будет называться обычное подмножество

. (5.136)

Пример 1. Пусть

. (5.137)

Имеем

, (5.138)

. (5.139)

Пример 2. На рис. 5.9 представлен пример, в котором рассматриваемое множество есть .

Рис. 5.9.

Важное свойство. С первого взгляда на рис. 5.9 выводим очевидное свойство

. (5.140)

Рассмотрим важную теорему.

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое подмножество можно следующим образом разложить на произведения обычных подмножеств по коэффициентам :

, , . (5.141)

Доказательство следует непосредственно:

(5.142)

Таким образом, функцию принадлежности можно записать в виде

. (5.143)

Пример 1.

(5.144)

Пример 2. Формула разложения (5.141) остается справедливой и в случае, когда универсальное множество имеет мощность континуума. Пусть, например,

, . (5.145)

Рассматривая интервал , где , можно записать

(5.146)

Таким образом, в данном примере

(5.147)

и (5.145) можно разложить для любых произвольных множеств значений -уровня, .

Синтез нечеткого подмножества посредством объединения обычных подмножеств. Теорему о декомпозиции можно применить не только для анализа, но и для синтеза. Если рассмотреть последовательность обычных подмножеств

(5.148)

и присвоить значения для , для ,…, для , причем такие, что

, (5.149)

то с помощью (5.141) получим нечеткое подмножество .