4. Отношение доминирования

Напомним сначала природу отношения доминирования, существующего между двумя упорядоченными наборами из  чисел (-ками). Рассмотрим две упорядоченные -ки

                   (4.1)

и

,     (4.2)

в которых  и ,  принадлежат одному и тому же вполне упорядоченному множеству . Отношение порядка на  обозначим символом .

Будем говорить, что  доминирует , и записывать

             (4.3)

тогда и только тогда, когда

.                (4.4)

Символы  и  используются для отношения нестрогого порядка. Для обозначения отношения строгого порядка используют символы  и , и в этом случае мы будем говорить, что « строго доминирует ». Очевидно, что

,             (4.5)

если

                 (4.6)

и имеются по крайней мере одно  и одно , между которыми существует строгое отношение.

Учитывая изложенное выше, можно сказать, что отношение доминирования индуцирует отношение порядка (совершенное или частичное) между -наборами вроде  и .

Пример 1. Рассмотрим следующие наборы из четырех чисел:

,                        (4.7)

,                        (4.8)

.                        (4.9)

Очевидно, что

,             (4.10)

так как , , .

Поскольку ни один из элементов  не больше соответствующего элемента из , то можно также записать . Аналогичным образом можно убедиться, что . Однако  и  несравнимы. Действительно,

, , , .                 (4.11)

Пример 2. Рассмотрим множество  точек  в плоскости, изображенной на рис. 4.1, таких, что  и . Все точки заштрихованной области II, удовлетворяющие неравенствам  и , доминируют, а в действительности строго доминируют все точки области I, в которой выполняются неравенства , . Не все точки области III обязательно сравнимы со всеми точками областей I или II, то же справедливо для области IV при сравнении ее с I и с II соответственно. Наконец, каждая точка области III несравнима сточками области IV и наоборот, за очевидным исключением точек  и , для которых  или .

Рис. 4.1.