3. Понятие нечеткого подмножества

Начнем с примера. Рассмотрим подмножество множества , определенное в (2.7). Каждый из пяти элементов или принадлежит или не принадлежит . Характеристическая функция принимает только значения 0 или 1.

Представим теперь, что характеристическая функция может принимать любое значение в интервале . В соответствии с этим элемент множества может не принадлежать , может быть элементом в небольшой степени ( близко к 0), может более или менее принадлежать ( ни слишком близко к 0, ни слишком близко к 1), может в значительной степени быть элементом ( близко к 1) или, наконец, может быть элементом (). Таким образом, понятие принадлежности получает интересное обобщение, приводящее как это мы увидим, к очень полезным результатам.

Математический объект, определяемый выражением

, (3.1)

где - элемент универсального множества , а число после вертикальной черты дает значение характеристической функции на этом элементе, будем называть нечетким подмножеством множества и обозначать

или . (3.2)

Принадлежность нечеткому подмножеству можно обозначать так:

. (3.3)

Символ можно считать эквивалентным , а - символу . Чтобы избежать громоздкого обозначения, используют просто символ для указания принадлежности и символ для указания непринадлежности.

Следовательно, нечеткое подмножество, определенное в (3.1), содержит в небольшой степени , не содержит , содержит в немного большей степени, чем , полностью содержит и в значительной мере - . Таким образом, мы можем создать математическую структуру, которая позволяет оперировать с относительно неполно определенными элементами и принадлежность которой к данному подмножеству лишь в какой-то мере иерархически упорядочена. К таким структурам можно, например, отнести: в заданном множестве людей - некоторое подмножество очень высоких людей; во множестве основных цветов - нечеткое подмножество темно-зеленых цветов, во множестве решений - нечеткое подмножество хороших решений и т. д. Далее мы увидим, как обращаться с такими понятиями, которые, по-видимому, особенно хорошо подходят к описанию неточности, присущей социальным наукам.

Дадим строгое определение понятия, нечеткого подмножества, введенного Заде [31].

Пусть есть множество, счетное или нет, и - элемент . Тогда нечетким подмножеством множества называется множество упорядоченных пар

, , (3.4)

где - степень принадлежности в . Таким образом, если принимает свои значения во множестве значений функции принадлежности или, короче, во множестве принадлежностей, то можно сказать, что принимает значение в посредством функции . Таким образом,

. (3.5)

Эта функция также называется функцией принадлежности.

Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать булевы бинарные функции как частный случай таких функций принадлежности, в данной работе мы заменим приведенное выше определение на следующее.

Пусть - множество, счетное или нет, и - элемент . Тогда нечеткое подмножество множества определяется как множество упорядоченных пар

, , (3.6)

где - характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения во вполне упорядоченном множестве , которая указывает степень или уровень принадлежности элемента подмножеству . Множество будет называться множеством принадлежностей.

Если , то «нечеткое подмножество» будет рассматриваться как «ненечеткое» или просто «обычное» подмножество.

Таким образом, понятие нечеткого подмножества связано с понятием множества и позволяет изучать нестрого определенные понятия, используя математические структуры.

Рассмотрим несколько примеров:

1) нечеткое подмножество чисел , приблизительно равных данному действительному числу , где ( - множество действительных чисел);

2) нечеткое подмножество целых чисел, очень близких к 0;

3) пусть - действительное число и - небольшое положительное приращение ; тогда числа образуют нечеткое подмножество во множестве действительных чисел;

4) пусть - элемент решетки; элементы, ближайшие к , по отношению порядка образуют нечеткое подмножество в множестве всех элементов решетки.

Множества или подмножества обозначаются в данной работе полужирными буквами: . Нечеткое подмножество обозначим полужирной буквой с символом под ней. Таким образом, нечеткие подмножества будем записывать в виде

(3.7)

Принадлежность и непринадлежность будем обозначать символами

и , (3.8)

нечеткую принадлежность и нечеткую непринадлежность, если в этом возникнет необходимость, будем обозначать

и . (3.9)

В некоторых случаях, когда вполне упорядоченное множество , в котором принимает свои значения, есть сегмент - «двусторонне замкнутый интервал» , под символом удобно помещать число из . Например,