2. Понятие принадлежности

Пусть  есть множество,  - подмножество :

.                       (2.1)

Тот факт, что элемент  множества  есть элемент подмножества , или, как еще говорят, принадлежит , обычно обозначают с помощью символа :

.            (2.2)

Для выражения этой принадлежности можно использовать и другое понятие - характеристическую функцию , значения которой указывают, является ли (да или нет)  элементом :

.                     (2.3)

Пример. Рассмотрим конечное множество из пяти элементов

                       (2.4)

и пусть

.                    (2.5)

Выпишем для каждого элемента из  степень его принадлежности множеству

.             (2.6)

Это позволяет представить  через все элементы множества , сопроводив каждый из них значением его функции принадлежности:

.              (2.7)

Напомним хорошо известные свойства булевой бинарной алгебры. Пусть  - дополнение  относительно , т. е. такое подмножество , для которого

,                (2.8)

.                (2.9)

Если

, то ,                   (2.10)

и можно записать

 и  .                  (2.11)

Рассматривая пример в (2.6) и (2.7), мы видим, что

             (2.12)

и можем записать

.             (2.13)

Для двух данных подмножеств  и  можно рассмотреть пересечение

.                       (2.14)

Имеем

                      (2.15)

                       (2.16)

                       (2.17)

Это позволяет нам записать

,              (2.18)

где операция  определена таблицей на рис. 2.1 и называется булевым произведением.

Рис. 2.1.

Таким же образом для двух подмножеств  и  определяют объединение или соединение

,                      (2.19)

обладающее свойством

,             (2.20)

где операция  (булева сумма) определена таблицей на рис. 2.2.

Рис. 2.2.

Пример. Рассмотрим множество (2.4) и два его подмножества

,              (2.21)

.              (2.22)

Имеем

              (2.23)

                      (2.24)

Далее, для дополнений к этим двум подмножествам имеем

,                   (2.25)

.                 (2.26)

Эти два примера составляют, впрочем, только дидактическую преамбулу к пониманию нечетких подмножеств.