11. Нечеткие графы

Рассмотрим два множества  и ; пусть  обозначает элемент ,  - элемент . Множество упорядоченных пар  определяет прямое произведение .

Нечеткое подмножество , такое, что

,                (11.1)

где  - множество принадлежностей элементов множества , называется нечетким графом. Пример 1. Пусть

                     (11.2)

и

,                        (11.3)

.               (11.4)

Для упрощения обозначений положим

, , .              (11.5)

Этот элемент множества  будем называть значением упорядоченной пары .

Рассмотрим, например,

                      (11.6)

Эта функция определяет нечеткое подмножество

.  (11.7)

Это же нечеткое подмножество можно представить в виде матрицы (рис. 11.1).

Рис. 11.1.

Граф

               (11.8)

- нечеткий граф.

Граф

        (11.9)

- обычный граф, рассматриваемый в теории множеств (рис. 11.2).

Рис. 11.2.

Пример 2. Пусть , где  - множество неотрицательных действительных чисел. Пусть , . Рассмотрим прямое произведение . Тогда отношение  определяет нечеткий граф в .

Предположим, что используется функция

                  (11.10)

где .

На рис. 11.3 наглядно представлено это нечеткое подмножество для точек , .

Рис. 11.3.

Пример 3. (Графы Бержа). Графом в смысле Бержа называется такой граф, что

 счетные,                       (11.11)

и граф представляет собой подмножество упорядоченных пар

,

такое, что

                 (11.12)

и

.                      (11.13)

Для таких графов, представляющих, очевидно, лишь частный случай графов, изучаемых в теории множеств, можно определить обобщение на нечеткие графы. Например, на рис. 11.4, 11.6, 11.8 и 11.10 изображен один и тот же нечеткий граф Бержа, тогда как на рис. 11.5, 11.7, 11.9 и 11.11 показан один и тот же обычный граф Бержа.

Рис. 11.4.

Рис. 11.5.

Рис. 11.6.

Рис. 11.7.

Рис. 11.8.

Рис. 11.9.

Рис. 11.10.

Рис. 11.11.

Используя обозначения Бержа для обычного графа на рис. 11.5, 11.7, 11.9 и 11.11, положим

                     (11.14)

где  называется многозначным отображением элемента  в элементы универсального множества .

Пользуясь этим обозначением, нечеткие графы, представленные различным образом на рис. 11.4, 11.6, 11.8 и 11.10, запишем в виде

               (11.15)

Пример 4. На рис. 11.12 и 11.13 изображены нечеткий и обычный графы.

Рис. 11.12.

Рис. 11.13.

На рис. 11.14 и 11.15 также изображены нечеткий и обычный графы.

Рис. 11.14.

Рис. 11.15.

Пример 5. Заштрихованные части на рис. 11.16, где каждой точке  приписано значение , изображают нечеткий граф.

Рис. 11.16.

Обобщение. Понятие прямого произведения двух множеств  можно обобщить для произведения множеств

.

Нечетким графом называется нечеткое подмножество, такое, что

,                       (11.16)

где , , а  есть множество принадлежностей прямого произведения .

Пример. Пусть

,              (11.17)

.

              (11.18)

- нечеткий граф в .