12. Нечеткое отношение

Подобно тому, как это делается в теории обычных множеств, понятие нечеткого графа можно объяснить в терминах понятия нечеткое отношение. Пусть - прямое произведение множеств и - его множество принадлежностей; нечеткое -арное отношение определяется как нечеткое подмножество , принимающее свои значения в .

Пример 1. Пусть

, (12.1)

, (12.2)

. (12.3)

Таблица на рис. 12.1 изображает нечеткое 2-арное отношение (которое можно называть бинарным, если не возникает путаница с другими возможными интерпретациями слова «бинарный»).

Рис. 12.1.

Пример 2. Пусть

, (12.4)

где , т. е. - множество всех действительных чисел. Тогда отношение , где , есть нечеткое отношение в .

Например, субъективное выражение (зависящее от субъективного оценивания) отношения можно задать так:

(12.5)

Обозначение. Нечеткое отношение в запишется как

. (12.6)

Символы для обозначения экстремума. Далее будем использовать символы:

- для обозначения максимума относительно элемента или переменной ,

- для обозначения минимума относительно элемента или переменной .

Так, запись

(12.7)

эквивалентна

. (12.8)

Аналогично запись

(12.9)

эквивалентна

. (12.10)

Проекция нечеткого отношения. Первую проекцию определяет функция принадлежности

. (12.11)

Аналогично вторую проекцию определяет функция принадлежности

. (12.12)

Вторая проекция первой проекции (или наоборот) будет называться глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначаться .

Таким образом,

. (12.13)

Если , то говорят, что отношение нормально. Если , то отношение субнормально.

Пример 1 (рис. 12.2). Вычислим первую проекцию

(12.14)

Аналогично можно вычислить и вторую проекцию. Результаты расчетов приведены на рис. 12.2. Мы видим, что отношение нормально.

Рис. 12.2.

Пример 2. Рассмотрим отношение , где , и

, (12.15)

(рис. 12.3), которое можно интерпретировать такой нечеткой фразой: и - очень близкие друг к другу числа (для достаточно больших значений ).

Рис. 12.3.

В этом случае мы видим, что для фиксированного значения

для . (12.16)

Поскольку значение также равно единице, то .

Носитель нечеткого отношения. Носителем нечеткого отношения называется обычное множество упорядоченных пар , для которых функция принадлежности положительна:

. (12.17)

Пример 1 (рис. 12.4).

. (12.18)

Рис. 12.4.

Пример 2 (рис. 12.5). Рассмотрим отношение , где , и

(12.19)

Рис. 12.5.

Тогда имеем

. (12.20)

Нечеткое отношение, содержащее или содержащееся в данном нечетком отношении. Пусть и - два нечетких отношения, такие, что

; (12.21)

тогда говорят, что содержит или содержится в .

Заметим, что

, (12.22)

если содержит .

Пример 1 (рис. 12.6). Легко проверить, что содержит .

Рис. 12.6.

Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение , где и , такое, что , т. е. « много больше », и пусть функция принадлежности этого отношения определяется выражением

(12.23)

Пусть теперь ; тогда отношение с функцией принадлежности

(12.24)

содержит (рис. 12.7).

Рис. 12.7.

Объединение двух отношений. Объединение двух отношений и обозначается или и определяется выражением

. (12.25)

Если - отношения, то

. (12.26)

Результат объединения обозначим

или . (12.27)

Пример 1 (рис. 12.8).

Рис. 12.8.

Пример 2. На рис. 12.9,а изображено нечеткое отношение , и , содержательно означающее, что «числа и очень близкие». На рис. 12.9,б изображено нечеткое отношение , и , содержательно означающее, что «числа и очень различные».

Рис. 12.9.

Отношение , содержательно означающее « и очень близкие или/и очень различные», определяется кривой :

(12.28)

где - такое значение , при котором

. (12.29)

В логике, основанной на теории обычных множеств, высказывание вроде « и очень близкие или(и) очень различные» должно быть сокращено до « и очень близкие или очень различные» с разделительным «или». Однако в теории нечетких подмножеств первое предложение вполне логично; оно выражает тот факт, что связка «и» интерпретируема при очень малых значениях функций принадлежности, когда об и нельзя сказать ни что они очень близки, ни что они очень отличаются друг от друга.

Этот пример хорошо иллюстрирует гибкость высказываний, присущую настоящей теории.

Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений и обозначается и определяется выражением

. (12.30)

Если - отношения, то

. (12.31)

Результат обозначим

. (12.32)

Пример 1 (рис. 12.10). Рассмотрим снова данные, представленные на рис. 12.8.

Рис. 12.10.

Пример 2. На рис. 12.11,а изображено нечеткое отношение , , означающее, что «модуль разностей очень близок к ». На рис. 12.11,б представлено аналогичное отношение « очень близко к » .

Рис. 12.11.

На рис. 12.11,в показано, как получить

. (12.33)

Имеем

(12.34)

где - такое значение , что .

Пересечение отношений и представлено на рис. 12.11,г.

Алгебраическое произведение двух отношений. Алгебраическое произведение двух отношений и определяется выражением

. (12.35)

Знак в правой части этого выражения обозначает числовое произведение (обычное умножение).

Пример 1 (рис. 12.12). Рассмотрим еще раз данные на рис. 12.8.

Рис. 12.12.

Пример 2. Вернемся к примеру, рассмотренному на рис. 12.11,а,б. Пусть

, (12.36)

тогда имеем

(12.37)

См. рис. 12.13,а-в.

Рис. 12.13.

Дистрибутивностью Выпишем свойства дистрибутивности для операций и

, (12.38)

, (12.39)

, (12.40)

. (12.41)

Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма двух отношений и обозначается и определяется выражением

. (12.42)

Знак обозначает обычное умножение, знак - обычное сложение.

Пример (рис. 12.14). Вернемся опять к примеру на рис. 12.8. Отметим два свойства дистрибутивности для операции :

, (12.43)

. (12.44)

Рис. 12.14.

Дополнение отношения. Дополнение отношения (обозначается ), есть такое отношение, что

. (12.45)

Пример 1 (рис. 12.15).

Рис. 12.15.

Пример 2. На рис. 12.16,а представлена функция принадлежности отношения , означающего « и очень близки друг к другу», и .

Рис. 12.16.

На рис. 12.16,б представлена функция принадлежности

, (12.46)

которая может быть связана с отношением « и очень близкие».

Тогда функция принадлежности на рис. 12.16, в может представлять отношение « и очень отличаются друг от друга».

Заметим, что два высказывания « и не очень близки» и « и очень разные» в общем случае не идентичны, за исключением случая, когда выбираются такие функции принадлежности, которые представляют оба высказывания довольно грубо.

Дизъюнктивная сумма двух отношений. Дизъюнктивная сумма обозначается и определяется выражением

. (12.47)

Пример 1 (рис. 12.17).

Рис. 12.17.

Пример 2. Рассмотрим пример, приведенный на рис. 12.11,а и б; пусть и - отношения с функциями принадлежности, изображенными на рис. 12.11,а и б соответственно. На рис. 12.18,а-к читатель может видеть, как получить функцию принадлежности отношения .

Рис. 12.18.

Сравнивая рис. 12.11,г и 12.18,и, мы видим, что дизъюнктивное ИЛИ (рис. 12.18,и) дает результат, значительно отличающийся от результата И, так же как и от результата ИЛИ/И (рис. 12.18,к).

Аналогично определяется оператор дополнения дизъюнктивной суммы

. (12.48)

Рассмотрим предыдущий пример на рис. 12.19 и 12.20.

Рис. 12.20 получен с учетом рис. 12.18,к.

Рис. 12.19.

Рис. 12.20.

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. В § 5 показано, как получить обычное множество, ближайшее к данному нечеткому подмножеству [см. (5.102)]. Аналогично пусть - нечеткое отношение; обычное отношение, ближайшее к , определяется выражением

(12.49)

Это определение пригодно для любых универсальных множеств и , образующих , где , , и независимо от того, конечны или нет универсальные множества.

По договоренности принимают

. (12.50)

Пример. На рис. 12.21 и 12.22 видно, как перейти от к .

Рис. 12.21.

Рис. 12.22.

Наличие элемента, равного 1/2 и соответствующего , показывает, что не единственно. Существуют два отношения, ближайшие к , для одного из которых , а для другого . По принятой договоренности будем полагать .