13. Композиция двух нечетких отношений

Напомним, что иногда мы используем обозначение

, эквивалентное , (13.1)

где - нечеткое отношение, соответствующее нечеткому графу .

(Мах-min)-композиция. Пусть и ; (max-min)-композиция отношений и обозначается и определяется выражением

, (13.2)

где , и .

Пример 1. Рассмотрим два нечетких отношения и , где . Предположим, что

, , (13.3)

, . (13.4)

Определим .

Рассмотрим два значения и переменных и . Функции принадлежности (13.3) и (13.4) непрерывны на интервале . В соответствии с (13.2) можно записать

. (13.5)

Композиция и посредством (max-min)-оператора представлена на рис. 13.1. Легко увидеть, что

и для произвольных значений и имеем

. (13.6)

Рис. 13.1.

Для простоты мы рассмотрели две идентичные функции и . Но ход рассуждений не меняется и при двух различных функциях: накладываем графики и друг на друга и определяем кривую как функцию от ; затем находим точку на этой кривой, которая отвечает максимальному значению .

Проблема осложняется, если абсцисса максимума не единственная. Это вынуждает нас провести более сложные исследования.

Рассмотрим другой пример для функции принадлежности, определенной на конечном универсальном множестве.

Пример 2 (рис. 13.2). Пусть ,

(13.7)

Рис. 13.2.

Пусть теперь , тогда

(13.8)

и т. д. Результат представлен на рис. 13.2.

Интересно сравнить эту композицию нечетких отношений с композицией обычных отношений.

Для композиции обычных отношений и имеем

, (13.9)

где , .

Тогда выражение (13.9) можно записать в виде

, (13.10)

где обозначает булево умножение и - булеву сумму полученных произведений.

На рис. 13.3 приведен пример, рассчитанный по формуле (13.9) или, что то же самое, - по (13.10).

Рис. 13.3.

Пример 3. На рис. 13.4 рассматривается пример композиции трех отношений.

Рис. 13.4.

Операция (max-min)-композиции ассоциативна

. (13.11)

С другой стороны, если отношение определено на , т. е. , то можно записать

; (13.12)

отсюда

(13.13)

и в общем случае

. (13.14)

Заметим, что (max-min)-композиция дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

, (13.15)

. (13.16)

Доказательства (13.15) и (13.16) приведены в приложении.

Легко доказать, что выполняется следующее важное свойство:

, (13.17)

представляем читателю сделать это.

(Мах-)-композиция. В (13.2) операцию можно произвольно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для : она ассоциативна и монотонно не убывает по каждому аргументу. Тогда можно записать

. (13.18)

(Мах-)-композиция. Среди (max-)-композиций, которые можно было бы представить себе, особого внимания заслуживает (max-)-композиция. В этом случае операция - это умножение, и она обозначается знаком ; формула (13.18) принимает вид

. (13.19)

Позднее нам представится случай поговорить о (max-)-композиции и указать некоторые практические приложения ее.

Обычное подмножество -уровня нечеткого отношения. Пусть . Обычным подмножеством -уровня нечеткого отношения будем называть обычное подмножество

. (13.20)

Пример 1 (рис. 13.5).

. (13.21)

Рис. 13.5.

Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение, определенное формулой

. (13.22)

Подмножество уровня 0,3 будет определяться условием

(13.23)

или

. (13.24)

Это подмножество - внешность круга радиуса , включая его границу - окружность (см. рис. 13.6).

Рис. 13.6.

Обычное подмножество можно определить другим способом, с помощью обычного отношения , такого, что

(13.25)

Вернувшись к примеру на рис. 13.5, можно записать

(13.26)

. (13.27)

Для примера на рис. 13.6 очевидно, что условия

(13.28)

определяют обычное отношение .

Важное свойство. Мы установили очевидное свойство

, (13.29)

или, что то же самое,

. (13.30)

Докажем важную теорему.

Теорема декомпозиции. Любое нечеткое отношение можно представить в форме

, , (13.31)

где

(13.32)

Здесь запись обозначает, что все элементы обычного отношения умножаются на .

Доказательство. Функцию принадлежности для отношения , определенного в (13.31), можно записать в виде

. (13.33)

Пример 1.

(13.34)

Пример 2. В соответствии с (13.25) декомпозиция остается справедливой и в случае, когда или/и имеют мощность континуума. Но тогда операция (mах) должна считаться выполненной (если необходимо) для континуального множества значений в рассматриваемом интервале.