14. Нечеткое подмножество, индуцированное отображением

Рассмотрим отображение  множества  в множество , обозначенное

,                (14.1)

где  и .

.                   (14.2)

Пусть  - функция принадлежности нечеткого подмножества , тогда отображение  индуцирует в  нечеткое подмножество  с функцией принадлежности

                       (14.3)

Пример 1 (рис. 14.1). Пусть

,                      (14.4)

.             (14.5)

Рис. 14.1.

Рассмотрим отображение, такое, что

                       (14.6)

Рассмотрим также отображение , обратное :

    (14.7)

И, наконец, рассмотрим нечеткое подмножество :

.             (14.8)

Тогда имеем

             (14.9)

Эти результаты изображены на рис. 14.1.

Интересно сравнить это понятие с соответствующим понятием для обычных подмножеств. Рассмотрим рис. 14.2.

Рис. 14.2.

Пусть

,                 (14.10)

.                   (14.11)

Имеем

.                     (14.12)

Отображение  подмножеству  ставит в соответствие подмножество

Пример 2. Пусть , , где  - множество действительных чисел. Рассмотрим нечеткое подмножество , определенное содержательно как «, ближайшее к , ». Рассмотрим также функцию

.                   (14.13)

Тогда нечеткое подмножество , индуцированное , будет иметь вид

                  (14.14)

(рис. 14.3).

Рис. 14.3.