16. Свойства нечетких бинарных отношений

Рассмотрим случай, когда

(16.1)

, (16.2)

и займемся исследованием некоторых свойств нечетких бинарных отношений в .

Пример 1. Пусть

, (16.3)

. (16.4)

Таблица или матрица на рис. 16.1 представляет нечеткое отношение в .

Рис. 16.1.

Пример 2. Пусть - множество действительных чисел и , , тогда

(16.5)

есть нечеткое бинарное отношение , заданное в , с функцией принадлежности , определяемой (16.5) для всех .

Перейдем к изучению основных свойств нечетких отношений. При представлении функции принадлежности, определяющей нечеткое отношение, мы не будем различать обозначения или , поскольку нечеткое отношение можно рассматривать как нечеткий граф.

Симметрия. Нечеткое бинарное отношение называется симметричным, если выполняется условие

. (16.6)

Пример. (См. рис. 16.2).

Рис. 16.2.

Другой пример. Пусть - множество действительных чисел и , . Тогда отношение « близко к » интуитивно воспринимается как нечеткое симметричное отношение в .

Рефлексивность. Это свойство определяется условием

. (16.7)

Пример. (См. рис. 16.3).

Рис. 16.3.

Другой пример. Отношение « близко к » в примере на симметричность является рефлексивным отношением.

Транзитивность. Пусть , тогда

. (16.8)

Выписанное соотношение определяет свойство транзитивности нечеткого отношения. Это соотношение можно записать в виде

. (16.9)

Напомним, что символ означает «максимальное из значений...», а символ - «минимальное из значений ...».

Прежде, чем привести некоторые примеры, интересно удостовериться в том, что определением (16.9) на самом деле обобщается понятие транзитивности формальных отношений. Известно, что для таких отношений транзитивность определяется свойством

. (16.10)

Это свойство выражает тот факт, что существует по крайней мере один , такой, что и , т. е. если и , то и .

Операция (min) соответствует «и» в пропозиционной логике, а операция (max по всем ) соответствует результату, который можно получить посредством импликации .

Рассмотрим несколько примеров применения формулы (16.8) (или, что то же самое, (16.9)).

Пример 1 (рис. 16.4). Это отношение транзитивно. В качестве упражнения произведем полную проверку. Нужно выполнить операций.

Рис. 16.4.

Дуга .

(16.11)

Дуга .

Пример 2. Следующие нечеткие отношения транзитивны:

много больше ,

чище, чем ,

- дальний родственник ,

в противоположность отношению похож на , которое нетранзитивно. Ведь может случиться так, что похож на и похож на , но не обязательно похож на ; все, однако, зависит от характера функции , оценивающей сходство. Это приведет нас позднее к тому, чтобы с большей точностью определить, что в настоящей теории подразумевается под «сходством».

Пример 3. Рассмотрим отношение , где , задаваемое функцией принадлежности

(16.12)

при значениях и достаточно больших для того, чтобы эта функция принадлежности выражала отношение « и очень близки друг к другу». Покажем, что нечеткое отношение, определяемое (16.12), нетранзитивно.

На рис. 16.5 выписана матрица отношения (16.12).

Рис. 16.5.

На рис. 16.6 произведены вычисления правой части условия транзитивности (16.9). Можно убедиться, что (16.9) выполняется не для всех пар. Следовательно, отношение, определяемое (16.12), нетранзитивно.

Рис. 16.6.

В § 29 мы вернемся к детальному рассмотрению случая, когда - бесконечное множество. Транзитивность в этом случае заслуживает особого внимания.

Теперь рассмотрим случай, когда отношение транзитивно, а множество счетно.

Пример 4. Рассмотрим отношение , где , определяемое функцией принадлежности

(16.13)

Матрица этого отношения представлена на рис. 16.7. На рис. 16.8 приведены результаты вычислений правой части (16.9). Сравнивая эти два рисунка, можно убедиться, что (16.9) удовлетворяется для всех пар. Это отношение транзитивно.

Рис. 16.7.

Рис. 16.8.

Можно также проверить, что этот вывод остается в силе, если . Это отношение можно интерпретировать как «величина меньше и не зависит от ».

Замечание о конечных отношениях. Операция, определяемая посредством (16.8) или (16.9), проводится над строками и столбцами так же, как это делается в матричных вычислениях по правилу «строка на столбец». На рис. 16.9 показано, как производить вычисления, чтобы получить

. (16.14)

Рис. 16.9.

Композицию нечетких бинарных отношений можно рассматривать как разновидность матричного исчисления или как метод вычислений в теории графов, хотя они и отличаются от классических методов. Более того, теория композиции бинарных отношений - частный случай общей теории моноидов.