17. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения

Пусть - нечеткое отношение в . Определим

(17.1)

функцией принадлежности

, (17.2)

где . Выражение (17.2) можно переписать в виде

. (17.3)

Свойство (16.8) или (16.9), определяющее транзитивность, можно также представить следующим образом:

. (17.4)

Предположим, что

, (17.5)

, . (17.6)

Тогда очевидно, что

, . (17.7)

Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения будем называть отношение

. (17.8)

Теорема 1. Транзитивное замыкание любого бинарного отношения есть транзитивное бинарное отношение.

Доказательство. Согласно (17.8) можно записать

. (17.9)

Тогда, сравнивая (17.8) и (17.9), можно записать

, (17.10)

что и доказывает транзитивность .

Подводя итоги, получаем следующие свойства:

, (17.11)

. (17.12)

Замечание. Теорема 1 позволяет строить транзитивное отношение для любого отношения.

Теорема 2. Пусть - некоторое нечеткое бинарное отношение. Если для некоторых имеем

, (17.13)

то

. (17.14)

Заметим, что обратное утверждение неверно.

Доказательство почти тривиально. Имеем

(17.15)

Ниже мы докажем, что если , где - конечное универсальное множество и , то

(17.16)

и существует , определяемое (17.14), такое, что .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим отношение , представленное на рис. 17.1,а. Можно рассчитать сначала (рис. 17.1,б), затем (рис. 17.1,в). Мы видим, что и вычисления можно здесь прекратить. Транзитивное замыкание представлено на рис. 17.1,г.

Рис. 17.1.

Глядя на рис. 17.2, можем убедиться, что

. (17.17)

Рис. 17.2.

Пример 2. На рис. 17.3 представлено транзитивное отношение . Производя вычисления, аналогичные только что проделанным, мы видим, что

. (17.18)

Рис. 17.3.

Пример 3. Рассмотрим отношение , где и

(17.19)

при значениях и достаточно больших для того, чтобы эта функция принадлежности выражала отношение «обе величины, как , так и , довольно маленькие неотрицательные целые числа». В качестве матричного представления этого отношения имеем

(17.20)

Вычисления дают матрицу

(17.21)

Следовательно, поскольку вместо мы получили , то это нечеткое отношение нетранзитивно.

Аналогично легко показать, что этот вывод остается в силе, если , а не только .

Как говорилось в § 16, мы вернемся к этому вопросу в § 29, где рассмотрим случай, когда не является конечным.

Пример 4. Вернемся к случаю, когда отношение и - конечное множество, чтобы уяснить, что отнюдь не всегда имеет место благоприятный случай (17.13). Но мы пойдем дальше и на этом примере продемонстрируем очень интересное явление.

На рис. 17.4 представлено отношение и последовательно вычисленные . Заметим, что последовательность вычислений не сходится: не существует фиксированного , после которого .

Рис. 17.4.

Благодаря (17.16) мы знаем, что можно остановиться при . А уже после этого получить легко.

Однако если читатель внимательно рассмотрит все полученные отношения, то увидит, что при мы имеем

, (17.22)

. (17.23)

Таким образом, здесь появляется интересный для изучения циклический феномен. Из-за отсутствия места для изучения «циклических нечетких отношений» ограничимся этими замечаниями, но рекомендуем исследовать их тем читателям, которые заинтересуются ими.

Замечание. Возникает следующий интересный вопрос: всегда ли композиция и (или) двух транзитивных отношений и дает транзитивное отношение. Как показывают следующие примеры, это, к сожалению, не всегда так.