Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


17. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения

Пусть  - нечеткое отношение в . Определим

               (17.1)

функцией принадлежности

,              (17.2)

где . Выражение (17.2) можно переписать в виде

.                    (17.3)

Свойство (16.8) или (16.9), определяющее транзитивность, можно также представить следующим образом:

.                (17.4)

Предположим, что

,                   (17.5)

а

, .                 (17.6)

Тогда очевидно, что

, .                     (17.7)

Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения будем называть отношение

.                      (17.8)

Теорема 1. Транзитивное замыкание любого бинарного отношения есть транзитивное бинарное отношение.

Доказательство. Согласно (17.8) можно записать

.                (17.9)

Тогда, сравнивая (17.8) и (17.9), можно записать

,                   (17.10)

что и доказывает транзитивность .

Подводя итоги, получаем следующие свойства:

,                (17.11)

.                 (17.12)

Замечание. Теорема 1 позволяет строить транзитивное отношение для любого отношения.

Теорема 2. Пусть  - некоторое нечеткое бинарное отношение. Если для некоторых  имеем

,               (17.13)

то

.                      (17.14)

Заметим, что обратное утверждение неверно.

Доказательство почти тривиально. Имеем

              (17.15)

Ниже мы докажем, что если , где  - конечное универсальное множество и , то

                       (17.16)

и существует , определяемое (17.14), такое, что .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим отношение , представленное на рис. 17.1,а. Можно рассчитать сначала  (рис. 17.1,б), затем  (рис. 17.1,в). Мы видим, что  и вычисления можно здесь прекратить. Транзитивное замыкание  представлено на рис. 17.1,г.

96-1.jpg

Рис. 17.1.

Глядя на рис. 17.2, можем убедиться, что

.                   (17.17)

96-2.jpg

Рис. 17.2.

Пример 2. На рис. 17.3 представлено транзитивное отношение . Производя вычисления, аналогичные только что проделанным, мы видим, что

.                      (17.18)

96-3.jpg

Рис. 17.3.

Пример 3. Рассмотрим отношение , где  и

                   (17.19)

при значениях  и достаточно больших для того, чтобы эта функция принадлежности выражала отношение «обе величины, как , так и , довольно маленькие неотрицательные целые числа». В качестве матричного представления этого отношения имеем

                     (17.20)

Вычисления  дают матрицу

                     (17.21)

Следовательно, поскольку вместо  мы получили , то это нечеткое отношение нетранзитивно.

Аналогично легко показать, что этот вывод остается в силе, если , а не только .

Как говорилось в § 16, мы вернемся к этому вопросу в § 29, где рассмотрим случай, когда  не является конечным.

Пример 4. Вернемся к случаю, когда отношение  и  - конечное множество, чтобы уяснить, что отнюдь не всегда имеет место благоприятный случай (17.13). Но мы пойдем дальше и на этом примере продемонстрируем очень интересное явление.

На рис. 17.4 представлено отношение  и последовательно вычисленные . Заметим, что последовательность вычислений не сходится: не существует фиксированного , после которого .

98.jpg

Рис. 17.4.

Благодаря (17.16) мы знаем, что можно остановиться при . А уже после этого  получить легко.

Однако если читатель внимательно рассмотрит все полученные отношения, то увидит, что при  мы имеем

,                (17.22)

.               (17.23)

Таким образом, здесь появляется интересный для изучения циклический феномен. Из-за отсутствия места для изучения «циклических нечетких отношений» ограничимся этими замечаниями, но рекомендуем исследовать их тем читателям, которые заинтересуются ими.

Замечание. Возникает следующий интересный вопрос: всегда ли композиция  и (или)  двух транзитивных отношений  и  дает транзитивное отношение. Как показывают следующие примеры, это, к сожалению, не всегда так.

Пример. Пусть  - отношение, приведенное ниже в (17.24). Проверяя свойство , можно убедиться, что это отношение действительно транзитивно:

99-1.jpg

(17.24)

 

Пусть  - отношение, заданное (17.25). Проверяя свойство  убеждаемся, что это отношение также транзитивно:

99-2.jpg

(17.25)

 

Теперь подсчитаем

99-3.jpg

(17.26)

 

и

99-4.jpg

(17.27)

 

Включение , очевидно, удовлетворяется.

Теперь подсчитаем

100-1.jpg

(17.28)

 

и

100-2.jpg

(17.29)

 

Мы видим, что включение  не выполняется и, следовательно,  нетранзитивное.

Таким образом, композиция двух транзитивных отношений не всегда дает транзитивное отношение.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>