34. Анализ функций нечетких переменных. Метод Мариноса

Разобьем  на  попарно граничащих интервалов, замкнутых слева и открытых справа, за исключением последнего:

,                   (34.1)

где

.                   (34.2)

Найдем условия, при которых функция  нечетких переменных

, , ,                (34.3)

будет принадлежать интервалу . Начнем с примеров.

Пример 1. Пусть

.                 (34.4)

Какие условия обеспечат соблюдение условия

,                     (34.5)

т. е. выполнение неравенств

?                    (34.6)

Рассмотрим выражение (34.4). Его правый член образован двумя элементами, следовательно, нужно брать наибольший. Начнем с первой гипотезы.

Гипотеза 1:

.                     (34.7)

Из нее следует, что

                  (34.8)

или в более явном виде

                    (34.9)

и

.                      (34.10)

Поскольку  и  нельзя располагать произвольно относительно друг друга, то необходимо, чтобы

 и                  (34.11)

и

 или/и .               (34.12)

Это можно переписать в виде

 и                  (34.13)

и

 или/и .               (34.14)

Гипотеза 2:

.                     (34.15)

Из нее следует

,             (34.16)

или в более явном виде

,                (34.17)

или

.                       (34.18)

Поскольку  и  нельзя располагать произвольно относительно друг друга, то прежде всего необходимо, чтобы

 и  и ,              (34.19)

а также

 или/и  или/и .                     (34.20)

Это можно переписать в виде

 и  и ,              (34.21)

а также

 или/и  или/и .                     (34.22)

Наконец, эти результаты можно сгруппировать следующим образом.

Свойство :

 или/и .              (34.23)

Свойство :

 и .  (34.24)

Чтобы удовлетворялось неравенство (34.6), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись свойства  и .

Чтобы привести пример вычислений  при конкретных числовых значениях, предположим, что

.                       (34.25)

Тогда имеем

                     (34.26)

Теперь рассмотрим полный числовой пример.

Пример 2. Пусть

;                (34.27)

предположим, что интервал  разделен на три интервала:

.

Сначала рассмотрим интервал .

Гипотеза 1:

.                      (34.28)

Тогда имеем

.                      (34.29)

Таким образом,

,                   (34.30)

 и               (34.31)

и

 или/и .                      (34.32)

Гипотеза 2:

.                     (34.33)

Тогда имеем

.                      (34.34)

Таким образом,

,                   (34.35)

 и               (34.36)

и

 или/и .                      (34.37)

Гипотеза 3:

.               (34.38)

Тогда имеем

.                (34.39)

Таким образом,

,                       (34.40)

.                 (34.41)

Теперь рассмотрим интервал .

Гипотеза 1:

,                      (34.42)

,                   (34.43)

 и       (34.44)

и

 или/и .                      (34.45)

Гипотеза 2:

,                     (34.46)

,                   (34.47)

 и       (34.48)

и

 и .                 (34.49)

Гипотеза 3:

,               (34.50)

              (34.51)

и

 и .                 (34.52)

Наконец, рассмотрим интервал .

Гипотеза 1:

                       (34.53)

,                       (34.54)

 и       (34.55)

и

 или/и .                 (34.56)

Гипотеза 2:

,                     (34.57)

,                       (34.58)

 и                   (34.59)

и

 или/и .                  (34.60)

Гипотеза 3:

,               (34.61)

                  (34.62)

и

 и .                    (34.63)

Результаты этого примера можно перегруппировать следующим образом:

а) .                     (34.64)

Свойство :

 или/и  или/и .                (34.65)

Свойство :

 и  и .                    (34.66)

Если соотношения  (34.65) и  (34.66) выполняются, то имеем (34.64).

б) .                  (34.67)

Свойство :

 или/и  или/и .                    (34.68)

Свойство :

 и  и .                    (34.69)

Если соотношения  (34.68) и  (34.69) выполняются, то выполняется неравенство (34.67):

в) .                      (34.70)

Свойство :

 или/и  или/и .                    (34.71)

Свойство :

 и  и .              (34.72)

Если соотношения  (34.71) и  (34.72) выполняются, то выполняется неравенство (34.70).

Важное замечание. Рассмотрим свойства  (34.23) и  (34.24). Можно заметить, что свойства  и  двойственны по отношению друг к другу, т. е. одно из них получается из другого заменой символов:

 на ,  на ,  на ,  на , (и) на (или/и), (или/и) на (и).

То же справедливо для  (34.65) и  (34.66),  (34.68) и  (34.69),  (34.71) и  (34.72) (для двух последних  заменяется на  и  заменяется на , так как последний интервал замкнут как слева, так и справа).

Это свойство отнюдь не случайно; это общее свойство для всех приведенных полиномиальных форм относительно  или .

В качестве примера рассмотрим также полиномиальную форму относительно .

Пример 3. Пусть

.                      (34.73)

При каких условиях

?                    (34.74)

Гипотеза 1:

.              (34.75)

Отсюда

                   (34.76)

или

.                  (34.77)

Поскольку  и  нельзя располагать произвольно относительно друг друга, то необходимо, чтобы

 или/и                    (34.78)

и

 и .                    (34.79)

Гипотеза 2:

.              (34.80)

Отсюда

                   (34.81)

или

.             (34.82)

Таким образом,

или/и                 (34.83)

и

 и .               (34.84)

Перегруппировав полученные результаты, имеем

Свойство :

 и .               (34.85)

Свойство :

 или/и .                       (34.86)

Чтобы неравенство (34.74) удовлетворялось, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись свойства  и .

Отметим, что здесь опять проявляется свойство двойственности, но или/и занимает место и наоборот.