Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


35. Логическая структура функций нечетких переменных

Напомним, что в пропозиционной алгебре пропозиционная связка

«и» обозначается через ,              (35.1)

«или/и» обозначается через ,                   (35.2)

«дополнение» обозначается через ,                     (35.3)

и утверждения с этими связками строятся в точности по тем же правилам, что и соответствующие им в булевой алгебре причем  соответствует ,  соответствует ,  соответствует .

Для представления логической структуры отношений (строгих или нестрогих неравенств), которая появляется у функции нечеткой логики, рассматриваемой на интервале , будем использовать следующие символы.

Пусть  - функция нечетких переменных  и пусть  - сегмент. Если  и  - некоторые переменные, входящие в , будем использовать следующие символы:

,               (35.4)

,                      (35.5)

,                  (35.6)

.             (35.7)

Предположим, что функцию  можно представить в приведенной полиномиальной форме относительно . Чтобы получить логическую структуру в интервале , поступают следующим образом:

1) выражение вида  заменяют выражением . Например, выражение  заменяют ,

2) одночлены функции , объединенные символом  заменяют одночленами , полученными по 1), и объединяют символом . Например,  заменяют ;

3) составляют логические выражения, двойственные полученным в 2), заменяя  на ,  на ,  на ,  на . Например,  принимает вид ;

4) результаты, полученные по 2) и 3), объединяют символом . Это дает логическое выражение  в интервале . Так, для примера, уже рассмотренного в 1) и 3):

,                (35.8)

логическое выражение имеет вид

.                (35.9)

Если функция  представлена в полиномиальной форме относительно , правила 1) - 4) модифицируются следующим образом:

1) каждое выражение вида  заменяется выражением ;

2) одночлены функции , объединенные символом , заменяются соответствующими одночленами в , объединенными символом ;

3) составляются выражения, двойственные тем, которые были получены в 2);

4) объединяются результаты шагов 2) и 3) символом .

Рассмотрим пример. Пусть

.              (35.10)

Имеем

.             (35.11)

Чтобы проиллюстрировать это на числах, предположим, что

.                      (35.12)

Тогда выражение (35.11) можно записать так:

                    (35.13)

Интересно разложить логические выражения по , , и , которые дают достаточные условия для каждого одночлена в разложении относительно . Это легко показать на примере. Рассмотрим снова (35.8):

;                (35.14)

предположим, что

.                      (35.15)

Мы уже подсчитали  [см. (35.9)]. Теперь продолжим разложение (35.9), чтобы преобразовать это выражение в полином относительно :

.                (35.16)

Чтобы сократить выкладки, условимся вместо  писать :

   (35.17)

Каждый из этих одночленов достаточен, поэтому имеем

.                  (35.18)

Проверим это, например, для

 (девятый одночлен).                   (35.19)

Применяя определения (35.4) - (35.7), получаем

             (35.20)

Таким образом,

 и .                    (35.21)

Эти неравенства представляют собой достаточные условия для того, чтобы соотношение (35.18) было верным.

Столь же интересно провести двойственное разложение относительно . Обратимся опять к примеру ((35.14) и (35.15)) и разложим полиномы относительно ; (35.14) дает

.                     (35.22)

Опуская значок , получаем

                    (35.23)

Отметим, что если произвести разложение по , то снова придем к соотношению (35.17) с точностью до сокращения немаксимальных одночленов.

Таблица 35.1. Основные функции двух нечетких переменных и их логические структуры для интервала

Полиномиальная форма

относительно

относительно

                  (35.24)

                  (35.25)

                  (35.26)

                  (35.27)

                  (35.28)

                  (35.29)

                  (35.30)

   (35.31)

Эти выражения можно упростить, если известно расположение  относительно 1.

Важное замечание. Если нечеткая переменная  принимает свои значения в интервале

,             (35.32)

то переменная  принимает свои значения в интервале

.               (35.33)

Если  принимает свои значения в интервале

,             (35.34)

то  - в интервале

.               (35.35)

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>