36. Композиция интервалов

Пусть

                    (36.1)

и

.                   (36.2)

Тогда какому интервалу  принадлежит ? Легко видеть, что

.                   (36.3)

Аналогично

.                   (36.4)

Пример. Пусть

 и .                (36.5)

Очевидно, что

,                (36.6)

.                (36.7)

В силу свойств (32.14) и (32.15) аналогично можно показать, что если

,                 (35.8)

то

                     (36.9)

и

.                    (36.10)

Интересно рассмотреть также случай, когда нечеткие переменные принимают свои значения в дополнении к интервалу.

Если

              (36.11)

и

,              (36.12)

то получим следующие результаты:

для

                     (36.13)

имеем

;                   (36.14)

для

,                   (36.15)

имеем

.                 (36.16)

Ниже приведена табл. 36.1 основных случаев (36.17)-(36.24), когда

 и .

Конечно, нет оснований путать  с :

,             (36.25)

                (36.26)

и, наконец,

.               (36.27)

С помощью выражений, приведенных в (36.17) - (36.24), можно получать области определения более сложных функций .

Пример. Найти области определения

,                    (36.28)

зная, что

 и .                       (36.29)

Из (36.29) и (36.26) выводим

.               (36.30)

Таблица 36.1. Восемь основных случаев при  и

	Область определения	Область определения	Область определения
			(36.17)
			(36.18)
			(36.19)
			(36.20)
			(36.21)
			(36.22)
			(36.23)
			(36.24)

Используя (36.17), после замены  на  и  на , и принимая во внимание направление квадратных скобок, получаем

                (36.31)

и, таким образом,

                    (36.32)

Случай дискретной функции принадлежности. Предположим, что интервал  разбит на 10 равных частей, определяющих, таким образом, 11 дискретных значений:

.                     (36.33)

В этом случае для функций, подлежащих рассмотрению, удобно составить таблицы, представленные на рис. 36.1 - 36.8. В теории функций нечетких переменных эти таблицы играют роль, аналогичную роли таблиц истинности при изучении функций булевых переменных. Но теперь вместо двух значений переменной и законов булевой алгебры нам приходится иметь дело с большим числом значений - от 0 до 1 и с законами (32.12)-(32.26), определенными в § 32.

Рис. 36.1.

Рис. 36.2.

Рис. 36.3.

Рис. 36.4.

Рис. 36.5.

Рис. 36.6.

Рис. 36.7.

Рис. 36.8.

На рис. 36.1 - 36.12 для сокращения записи десятичные дроби 0,1, 0,2, 0,3, ... представлены как 0, 1, 2, 3,...

Рис. 36.9.

Рис. 36.10.

Рис. 36.11.

Рис. 36.12.

Посмотрим, как применяются эти таблицы.

Пример 1. Пусть

,                    (36.34)

где ;              (36.35)

.                        (36.36)

Мы воспроизвели рис. 36.2 еще раз на рис. 36.9. Изучение заштрихованной части показывает, что

.                      (36.37)

Пример 2. Пусть

,              (36.38)

где

;                (36.39)

;                       (36.40)

.                    (36.41)

Сначала положим

                    (36.42)

и рассчитаем область определения  с помощью таблицы на рис. 36.10 (которая представляет собой транспонированную таблицу на рис. 36.2). Находим

.                (36.43)

Теперь найдем область определения

               (36.44)

с помощью таблицы на рис. 36.11 (которая совпадает с таблицей на рис. 36.1). Находим

.                   (36.45)

Наконец, подсчитаем область определения

                    (36.46)

с помощью таблицы на рис. 36.12 (представляющую собой транспонированную таблицу на рис. 36.5).

Находим

.              (36.47)