40. Теория нечетких подмножеств и теория вероятностей

Многие люди, не подумав, спрашивают: «Ну что интересного в теории нечетких подмножеств? Всему этому хорошо служит теория вероятностей». У этих двух теорий действительно есть несколько общих аспектов. Но существуют доводы, что эти теории следует различать. Мы начнем с обзора основных понятий теории вероятностей, а затем изучим, чем эти теории отличаются друг от друга.

Аксиоматика теории вероятностей.

1. Случай конечного универсального множества. Пусть  - конечное универсальное множество,  - множество всех его подмножеств и  - подмножество , обязательно содержащее . Подмножество  будет называться «семейством», и мы будем говорить, что семейство  можно считать вероятностным семейством подмножеств множества , если удовлетворяются следующие два условия:

а) ,                 (40.1)

б)  и .                 (40.2)

Например, пусть

                       (40.3)

и

.                      (40.4)

Семейство  - вероятностное. Можно легко проверить, что для всех элементов семейства (40.4) удовлетворяются условия (40.1) и (40.2).

Свойства (40.1) и (40.2) влекут за собой некоторые другие свойства, которые читатель может легко вывести сам:

в) ,                   (40.5)

г)  и ,                  (40.6)

д)  и .

Вероятностное семейство  образует кольцо относительно операции  (дизъюнктивная сумма) взятия симметрической разности от двух множеств, которая рассматривается как аддитивная операция кольца, и мультипликативной операции  - взятия пересечения двух множеств. Так, для любых ,  и  из , с одной стороны, имеем:

 - ассоциативность для ,                (40.7)

, где  - нулевой элемент семейства ,             (40.8)

 - для каждого элемента  существует ему противоположный, а именно сам этот элемент,                  (40.9)

 - коммутативность.                        (40.10)

Таким образом, элементы  образуют коммутативную группу относительно операции . С другой стороны, операция пересечения  ассоциативна:

 - ассоциативность для                    (40.11)

и выполняется дистрибутивный закон относительно операции :

 - дистрибутивность слева,                   (40.12)

 - дистрибутивность справа.                 (40.13)

Следовательно,  - кольцо.

Наконец, с любым семейством  связывается дистрибутивная решетка с дополнениями, т. е. булева решетка, в которой отношение порядка задано теоретико-множественным отношением включения . Так, для семейства , заданного (40.4), получаем булеву решетку, представленную на рис. 40.1.

Рис. 40.1.

Подмножество  называется вероятностно-базисным семейством множества , если, используя операции дополнения и объединения (40.1) и (40.2), из него можно получить любое подмножество из вероятностного семейства . Можно также сказать, что  порождает ; или иначе  - генератор , и в общем случае, не единственный.

Например, обращаясь к (40.4) и рис. 40.1, легко видеть, что

             (40.14)

есть генератор (40.4).

2. Случай бесконечного универсального множества (счетного или несчетного). В этом случае  несчетно; пусть  - подмножество , необходимо содержащее . Говорят, что семейство  вероятностное, если

е) ,                 (40.15)

ж) для любой счетной последовательности

.                       (40.16)

Условие (40.16) представляет собой простое обобщение (40.2) на случай универсальных множеств, не обязательно счетных.

Вероятность. Теоретическое определение. Пусть дано вероятностное семейство . Вероятностью называется однозначное отображение  в , обладающее следующими свойствами:

з) ,                      (40.17)

и)  и ,             (40.18)

к) ,              (40.19)

где  - образ элемента  в .

Аксиомы (40.1), (40.2), (40.17) - (40.19) или (40.15) - (40.19) ставят в соответствие каждому элементу семейства  неотрицательное число, меньшее или равное 1.

Исходя из аксиом (а), (б), (з), (и) и (к), легко доказать следующие свойства вероятностей:

,                             (40.20)

,                (40.21)

,                (40.22)

.                 (40.23)

Возвращаясь к понятию нечеткого подмножества, мы настойчиво подчеркиваем следующий важный момент: «недостаточно с каждым подмножеством связать число  и назвать  вероятностью; необходимо, чтобы подмножество и  удовлетворяли пяти вышеуказанным основным аксиомам».

Различие между вероятностной концепцией для нечетких и для обычных подмножеств. Рассмотрим очень простой пример. Как действуют в теории нечетких подмножеств?

Пусть

.                      (40.24)

Определим нечеткое подмножество, приписывая каждому элементу значение функции принадлежности, например:

.                     (40.25)

В теории вероятностей числа  приписываются обычным подмножествам, составляющим вероятностное семейство. Если в качестве  выбрать (40.4), то можно, например, записать

                     (40.26)

Очевидно, что все эти вероятности удовлетворяют (40.17)-(40.23). Как видно, эти два подхода совершенно различны.

Можно и полезно представить себе, что вероятности приписаны нечетким подмножествам некоторого универсального множества, элементы которого, в свою очередь, есть нечеткие подмножества другого универсального множества. Например, приписываем  вероятность из (40.25) и пишем

.             (40.27)

Можно представить себе и теорию вероятностей нечетких событий. Очевидно, однако, что надо проводить различие между двумя теориями: теорией нечетких подмножеств и теорией вероятностей обычных подмножеств.

Теория нечетких подмножеств связана с теорией векторной решетки, а теория вероятностей - с теорией булевой решетки.