41. Теория нечетких подмножеств и теория структурных функций

Между теорией нечетких переменных, как она определена в § 32 и последующих параграфах, и теорией структурных функций, изучаемых в теории надежности систем, можно установить некоторые интересные связи. Сначала напомним основные понятия теории структурных функций.

Структурные функции. Рассмотрим переменные . Для этих бинарных переменных будем использовать только следующие операции:

 - обычное умножение,                         (41.1)

, где  обозначает обычное сложение, а  обычное вычитание.   (41.2)

Введем функции этих переменных, для построения которых используются только операции  и .

Но сначала рассмотрим общие свойства переменных  и операций  и :

,                     (41.11)

,                    (41.12)

,                      (41.13)

.                      (41.14)

Обозначим через  структурную функцию переменных

.                  (41.15)

Например,

             (41.16)

есть структурная функция.

Напомним два свойства поглощения, которые позволяют упрощать структурные функции:

,               (41.17)

.                   (41.18)

Оба эти свойства выводятся из (41.3) и (41.14).

Используя понятие максимального одночлена, любую функцию  можно выразить в полиномиальной форме относительно  или .

Например, функция

                     (41.19)

образована тремя максимальными одночленами и не может быть упрощена дальше. Функция же

                (41.20)

допускает упрощение - ее можно свести к виду

.                                 (41.21)

Полиномиальная форма, содержащая только максимальные одночлены, будет называться приведенной или канонической.

Будем говорить, что две структурные функции равны или тождественны, если они сводятся к одной и той же полиномиальной форме относительно произведения  или суммы . Конечно, любую каноническую форму относительно  можно преобразовать в каноническую форму относительно  и наоборот.

С каждой структурной функцией можно связать представление в виде сети, в которой последовательное расположение элементов соответствует операции , а параллельное - операции .

Пример. Рассмотрим структурную функцию, соответствующую сети на рис. 41.1:

.                     (41.22)

Рис. 41.1.

Поскольку

,                            (41.23)

то первое сокращение дает

.                  (41.24)

И так как

,                   (41.25)

то второе сокращение приводит к

.                        (41.26)

Конечно, оба сокращения можно было бы выполнить сразу. Итак,

,                       (41.27)

- каноническая форма функции . Соответствующая ей сеть представлена на рис. 41.2.

Рис. 41.2.

Используя двойственную сеть, изображенную на рис. 41.3, получаем двойственную каноническую форму, соответствующую трем параллельным маршрутам, идущим из  и  (см. рис. 41.4):

,                 (41.28)

взаимозаменяя операции  и , приходим к

.            (41.29)

Рис. 41.3.

Рис. 41.4.

Сеть, соответствующая этой второй канонической форме функции , представлена на рис. 41.5.

Рис. 41.5.

Переход к поверхностям. Во избежание слишком абстрактного изложения рассмотрим конкретный пример.

Предположим, что переменные  обозначают состояние компонентов , где  - множество компонентов. Это множество будем называть словами сложное оборудование, простое оборудование или система. Будем считать, что компонент

                     (41.30)

где  - бинарная переменная, связанная с компонентом . В этом случае  представляет такую бинарную функцию, принимающую значения в , что система

                      (41.32)

и  выражает зависимость  от своих компонентов.

Пусть  есть вероятность того, что компонент  - функциональный, и  - вероятность того, что система  - функциональная. Подсчитаем вероятность  как функцию вероятностей .

Для того чтобы показать, как провести соответствующие вычисления, нужно вспомнить две идемпотентные формулы (41.7) и (41.8):

,                     (41.33)

,                     (41.34)

поскольку, если вычисления проводятся относительно обычного сложения, то

,                 (41.35)

и очевидно, что  не будет областью значений для этой суммы.

В теории вероятностей, которая применяется в теории надежности рассматриваемого здесь класса систем, считается, что если  - вероятность того, что  - функциональный компонент, тогда  есть вероятность того, что он не функционален. Рассмотрим систему . Для вероятности функционирования этой системы получим

, что соответствует ,                   (41.36)

, что соответствует ,                     (41.37)

последнее выражение можно записать в виде

,             (41.38)

что соответствует .

Мы видим, что существует изоморфизм между функциями  и . Однако закон дистрибутивности, справедливый на множестве  переменных, принимающих значения из , относительно операций  и , перестает быть справедливым для вероятностей . Но дистрибутивность восстанавливается, если рассматривать обычные операции  и . Для перехода от функций  к функциям  нужно в  заменить операторы  на , что тоже приводит к использованию ; затем можно перейти от  к , заменяя  на  и не забывая, где это необходимо, применять свойство идемпотентности (41.7). Таким образом, мы предполагаем устанавливать вероятность функционирования (так называемую надежность) системы, для которой структурная функция выражается в виде (41.22), т. е. такой системы , что

 функционирует, если  и  - функциональные,

 функционирует, если или/и ,  и  - функциональные, или/и  - функциональный, или/и ,  и  - функциональные.

Очевидно, что

                   (41.39)

[см. (41.27)] или опять

,                      (41.40)

откуда

.               (41.41)

Для канонической формы (41.29) получаем

                  (41.42)

Специалистам по надежности систем хорошо известно общее правило: 1) выразить  с помощью операций ,  и ; 2) избавиться от степеней (используя идемпотентность); 3) заменить  на .

Операции  и  на нечетких переменных. Теперь рассмотрим переменные  и следующие три операции:

 - обычное умножение;              (41.43)

              (41.44)

 - дополнение.                  (41.45)

Легко проверить, что выполняются следующие свойства:

,                      (41.50)

,                   (41.51)

,                        (41.52)

,                  (41.53)

,                      (41.54)

,                    (41.55)

,                      (41.56)

,                      (41.57)

,                     (41.58)

Таким образом, свойства идемпотентности [см. (41.50) и (41.51)] и дистрибутивности [см. (41.52) и (41.53)] не удовлетворяются.

Иногда переменные  можно рассматривать как вероятности и предполагать, что

 - вероятность появления формально независимых событий  и ,

 - вероятность появления формально независимых событий  или (и) .

Определенные в (41.43) - (41.50) операции могут применяться для вычисления вероятностей.

Так же, как есть люди, которые склонны смешивать теорию нечетких множеств с теорией вероятностей, есть и другие, склонные рассматривать функции нечетких переменных, множество которых замкнуто относительно операций ,  и , и структурные функции, множество которых замкнуто только относительно операций  и , в рамках одной и той же теории. И причина смешения понятий не только в том, что в обоих случаях используются одни и те же операции  и .

Первая теория имеет дело с переменными , для которых определено дополнение, вторая же имеет дело с переменными , для которых понятие дополнения не вводится.

С другой стороны, нечеткие переменные  можно интерпретировать как вероятности и, следовательно, если рассматривать только операции ,  и , то между двумя теориями устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Однако на множестве нечетких переменных  определены и другие операции ,  и , т. е. mах, min, и, следовательно, полного соответствия не наблюдается.

Хотя иногда можно увидеть очень интересные связи.

Показатель качества функционирования системы. В некоторых задачах, связанных с оценкой функционирования системы, учитывают не только тот факт, работает или не работает система, но и уровень качества ее работы.

Например:

работает отлично,

работает очень хорошо,

работает довольно хорошо,

работает довольно плохо,

не работает.

Предположим теперь, что каждому компоненту  системы или элементу множества

мы ставим в соответствие нечеткую переменную

,

где  описывает состояние системы , которое зависит от характеристики состояния каждого своего компонента. В этом случае  действительно есть нечеткое подмножество.

Если допустить, что уровень системы задается функцией

,

когда функционирование системы можно описать последовательной сетью и

,

когда функционирование системы описывается параллельной сетью, то придется обратиться к различным понятиям из теории нечетких подмножеств, исключая вопросы, связанные с понятием дополнения, которые не имеют прямого отношения к задаче оценки качества работы системы.

Свойства переменных , , совпадают с теми, которые были сформулированы в (32.12) - (32.23), а свойства (32.24) - (32.26) теряют свое значение.

Отметим, что свойства поглощения

,

,

остаются справедливыми, что позволяет сокращать формулы и дает возможность ввести как понятие максимального одночлена (относительно  или ), так и понятие приведенной полиномиальной формы.

Функции, подобные , будут называться показателями качества функционирования системы.

Пример. Рассмотрим рисунок (41.6). По схеме легко определить структурную функцию

.

Рис. 41.6.

Применяя правило поглощения к полиному в квадратных скобках, получаем

и по свойствам дистрибутивности и идемпотентности приходим к

.

Функцию  можно изучать с помощью таблицы значений, как это мы делали в § 32 для функции , но не включая в таблицу дополнения переменных. Рассмотрим случаи, когда имеются

одна переменная :

,

две переменные  и :

,

,

три переменные ,  и :

,

,

,

,

,

,

и т. д. для четырех, пяти, шести... переменных.

Если  - показатель качества функционирования системы, зависящий от  переменных, то таблица будет иметь  строк; каждая строка может принимать  значений, всего имеется

различных функций. Среди этих  функций только небольшое их число может быть представлено в канонической форме (относительно  или ) и, следовательно, представлено надежностной сетью.

Снова возвращаясь к примеру на рис. 41.6, получаем таблицу, которая приведена на рис. 41.7.

Рис. 41.7.

Свойство монотонности. Пусть  и , . Положим

, ,               (41.61)

, ;                (41.62)

тогда имеем

.                     (41.63)

Это свойство обобщает хорошо известное свойство монотонности структурных функций, где уровень принимает значение 0 или 1 (в зависимости от того, функционирует система или нет). Допускают обобщения и другие свойства надежностных систем с отказами. Любая функция , удовлетворяющая (41.63), будет называться монотонной функцией.

Следующие три свойства эквивалентны:

 - монотонный показатель качества функционирования системы;

 - аналитическая функция, т. е. может быть записана в канонической форме относительно  (или );

- существует последовательно-параллельная сеть  и параллельно-последовательная сеть , двойственные друг другу.

Можно сделать и другие более или менее тривиальные выводы. Пусть  - сеть. Параллельное подключение сети  к сети  не увеличивает значения показателя качества функционирования.

Здесь уместно сделать важное замечание, с одной стороны, о показателе надежности, а с другой - о показателе качества функционирования системы. Это совершенно разные понятия.

Рассмотрим систему , состоящую из двух компонентов  и . Предположим, что  характеризует качество работы компонента , a  - качество работы , . Предположим также, что в сети эти два компонента соединены параллельно. Тогда имеем

.                     (41.64)

Наконец, предположим, что , тогда

.                       (41.65)

Отсюда следует, что избыточность не изменяет качества работы системы.

Теперь рассмотрим надежность той же системы . Если  и  - не случайные переменные, , то имеем

.               (41.66)

Отсюда получаем

.                        (41.67)

Предположим, что , тогда имеем

,              (41.68)

, если  и .                  (41.69)

Таким образом, избыточность повышает надежность, но не уровень функционирования.

Эти два понятия - «уровень функционирования» и «надежность» - не должны смешиваться. Первое связано с теорией нечетких подмножеств, а второе - с теорией вероятностей.

Следовательно, если каждый из двух компонентов работает довольно хорошо, то их параллельное соединение работает столь же хорошо, но не лучше, зато надежность системы повышается. Этот пример хорошо иллюстрирует все различие, существующее между двумя понятиями.

Про показатели надежности и качества работы системы можно сказать, что это монотонные показатели. В результате параллельного подключения сети  к сети  не ухудшается ни качество работы системы, ни ее надежность. В результате последовательного соединения этих сетей ни надежность системы, ни качество ее работы не улучшается.

Отметим, что намеченная выше теория функций качества допускает обобщение, в котором переменные , характеризующие качество работы компонентов системы, принимают значения не в , а в произвольном упорядоченном множестве, как это и сделано в гл. V, в которой рассматривается важное обобщение теории Заде.

Понятие показателя качества может стать предметом различных определений, возникающих в теории таксономии.