45. Закон нечеткой внутренней композиции. Нечеткий группоид

Рассмотренные понятия можно в обобщенном виде перенести на нечеткие подмножества следующим образом.

Пусть - универсальное множество и . Обозначим, как это сделано в § 6, множество нечетких подмножеств множества через . Тогда можно записать . Мы уже видели, что если и конечные, то и конечно.

Теперь можно определить закон внутренней композиции на , т. е. определить отображение из в . Другими словами, каждой упорядоченной паре , где , , поставить в соответствие единственное нечеткое подмножество . Если и конечные, то посредством этих условий описывают конечный группоид (и бесконечный группоид, если или(и) не конечные).

Определенные таким образом законы внутренней композиции и группоиды будут называться законами нечеткой внутренней композиции или нечеткими внутренними законами и нечеткими группоидами. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть

(45.1)

. (45.2)

Обратившись к рис. 6.2, получим

(45.3)

Для упрощения записи для вместо

(45.4)

будем писать

. (45.5)

Таким образом, будем записывать . При этом обозначении табл. на рис. 45.1 представляет нечеткий группоид.

Рис. 45.1.

Пример 2. Если рассматриваемая операция есть пересечение и если и , то можно образовать группоид с нечеткими подмножествами в качестве результата применения этой операции. То же справедливо для операций и , определенных в § 5.

Построение нечеткого группоида. Для построения нечеткого группоида достаточно задать универсальное множество , конечное или нет, образовать явно или нет и определить закон , который каждой упорядоченной паре нечетких подмножеств ставит в соответствие одно и только одно нечеткое подмножество .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим еще раз (45.1) и (45.2) с законом

, (45.6)

т. е.

. (45.7)

Таким образом, мы построили группоид, представленный на рис. 45.2.

Рис. 45.2.

Пример 2. Попробуем определить «нечеткие положительные целые числа». Начнем с определения нечеткого числа с функцией принадлежности , произвольной, но такой, что

, . (45.8)

Например,

. (45.9)

Построим следующим образом:

(45.10)

Таким образом,

. (45.11)

Закончим построения на числе , используя формулу, которая обобщает (45.10):

. (45.12)

В этом выражении можно узнать преобразование свертки, используемое в теории вероятностей и в преобразованиях линейных функций.

Для имеем

, . (45.13)

Таким образом,

(45.14)

Таким путем процесс построения продолжается далее. Отметим, что нечеткий характер построенных чисел проявляется все сильнее с ростом их значений.

Позже мы познакомимся с некоторыми частными свойствами группоидов. Здесь же отметим, что построенные нами группоиды обладают следующими свойствами:

- ассоциативность, (45.15)

- коммутативность. (45.16)

При этом нужно выбирать такими, чтобы

. (45.17)

Это условие соответствует использованию произведения - свертки (45.12).

Пример 3. Возьмем функцию принадлежности, которую можно рассматривать как закон распределения вероятностей. Рассмотрим два нечетких подмножества и , c помощью которых получим другие нечеткие подмножества (таким образом, мы рассматриваем и как нечеткие множества, порождающие бесконечное число других нечетких подмножеств). Пусть