46. Основные свойства нечетких группоидов

Пусть  есть закон внутренней композиции нечеткого группоида; определим несколько свойств группоидов. Группоид будет обозначаться .

Коммутативность. Если для всех упорядоченных пар  выполняется условие

,             (46.1)

то говорят, что закон внутренней композиции коммутативен; также говорят, что группоид коммутативен. Например, группоид на рис. 45.2 коммутативный, в то время как на рис. 45.1 - нет. Для примера на рис. 45.2 можно проверить, что

,                 (46.2)

.                 (46.3)

Исходя из данного определения закона  для нечетких подмножеств, можно заключить, что если

,                        (46.4)

то из коммутативности для  следует коммутативность для  и наоборот. Очевидным примером служат выражения (45.6) и (45.7).

Ассоциативность. Если

,                 (46.5)

то говорят, что закон ассоциативный; говорят также, что группоид ассоциативен.

Так, группоид на рис. 45.2 ассоциативен, а на рис. 45.1 - нет. Можем это проверить, например, для группоида на рис. 45.2, используя сокращенное обозначение

,              (46.7)

.           (46.7)

Исходя из данного определения закона для нечетных подмножеств, можно заключить, что если

,                      (46.8)

то из ассоциативности для  следует ассоциативность для  и наоборот.

Единичный элемент. В теории обычных множеств для рассматриваемого закона  выделяют особый элемент , если он существует, такой, что

.                  (46.9)

Этот элемент называют левой единицей. Аналогично элемент , если он существует, такой, что

,                 (46.10)

называется правой единицей.

Элемент, который является одновременно и левой и правой единицей, называется единицей.

Если единичный элемент существует, то он единственный. Действительно, если бы существовал другой такой элемент , то мы имели бы

.               (46.11)

Аналогично можно определить единичный элемент в нечетком группоиде. Покажем сначала на примере, что это действительно возможно, а затем перейдем к общему определению. Рассмотрим пример на рис. 45.2. Очевидно, что элемент  будет одновременно как левой, так и правой единицей, т. е. просто единицей. Действительно,  и ,

.            (46.12)

Будем говорить, что нечеткий группоид с законом композиции  обладает левой единицей , если

,             (46.13)

и правой единицей , если

,             (46.14)

и имеет единицу , если

.             (46.15)

В примере на рис. 45.2 представлен случай, когда нечеткий группоид имеет единицу. Теперь рассмотрим другой случай, когда нечеткий группоид не обладает единицей. Такая ситуация возникает в примере, рассматриваемом в (45.8)-(45.16). С помощью элемента  невозможно генерировать ни четкое подмножество, обладающее свойством (46.15), ни нечеткое подмножество, обладающее свойством (46.13) или (46.14).

Обратные элементы. Напомним, что понимается под обратным элементом в теории обычных множеств.

Рассмотрим закон, для которого существует единичный элемент . Теперь пусть  и  - два элемента. Если

,                    (46.16)

то говорят, что элемент  есть левый обратный элемент для . Аналогично, если

,                   (46.17)

то говорят, что  есть правый обратный элемент для . Наконец, если , то

                      (46.18)

и говорят, что  есть обратный элемент для .

В нечетком группоиде для каждого элемента можно попытаться определить обратный.

Обратимся опять к примеру на рис. 45.2. Мы уже видели, что здесь существует единица, а именно пара . Очевидно, что имеется только один элемент, который в композиции с самим собой дает ; это элемент .

Для всех остальных элементов, таких, что  и , имеем

.                       (46.19)

Следовательно, в группоиде на рис. 45.2 каждый элемент не имеет обратного.

В более общем случае, когда в качестве закона  используется  или , обратный элемент не существует.

В случае  существует единица, определяемая условием , ; в случае  существует единица, определяемая условием , . Но ни в одном из этих случаев, независимо от того, каково нечеткое подмножество , нельзя определить обратный элемент. Известно, что

.                      (46.20)

.                        (46.21)

Однако если  принять за единицу для , а  - в качестве единицы для , то это все равно не позволит определить обратные элементы; никакой элемент, скажем , не может дать

, за исключением случая  и ;                  (46.22)

, за исключением случая  и .                    (46.23)

Аналогично можно проверить, что для законов

,             (46.24)

              (46.25)

также нельзя определить обратные элементы.

Можно проверить, что это справедливо также для закона :

, определенного посредством                (46.26)

или закона :

, определенного посредством .                        (46.27)

Дистрибутивность. Пусть  и  представляют собой два закона внутренней композиции, определенных на одном и том же множестве . Если

,                  (46.28)

то говорят, что закон  дистрибутивен слева относительно закона .

Аналогично, если

,                 (46.29)

то говорят, что закон  дистрибутивен справа относительно закона .

Если закон  дистрибутивен относительно другого закона  и слева и справа, то говорят, что он дистрибутивен относительно . Тогда можно записать

.                       (46.30)

Можно, например, проверить, что закон  дистрибутивен относительно  и, наоборот, закон  дистрибутивен относительно . Для закона

              (46.31)

относительно  или  свойство дистрибутивности не имеет места.

Обычное подмножество нечеткого множества, замкнутое относительно закона композиции. Пусть , причем  наделено законом . Если для каждой упорядоченной пары

,                   (46.32)

то говорят, что  замкнуто относительно .

Рассмотрим, например, группоид, представленный на рис. 45.2. Можно проверить, что группоид

 замкнутый,               (46.33)

 незамкнутый.                       (46.34)

На рис. 46.1 представлен тот же группоид, что и на рис. 45.2, но наделенный законом : группоид

 незамкнутый,                       (46.35)

 незамкнутый,                                  (46.36)

 замкнутый.                              (46.37)

Рис. 46.1.

Интересно проследить, как получить замкнутые подмножества для примеров на рис. 45.2 и 46.1 с помощью диаграммы Хассе векторной решетки, представляющей  (см. рис. 46.2).

Рис. 46.2.

Правило состоит в следующем. Чтобы некоторое подмножество из  было замкнутым, оно должно содержать нижнюю грань любой пары , . Например, подмножество  замкнуто относительно . Это можно видеть на рис. 46.2. С другой стороны, подмножество  незамкнуто относительно . Такое же правило применяют и для операции , но только рассматривают верхние границы. Например, подмножество  незамкнуто относительно , а подмножество  - замкнуто.

Это свойство - общее для любого  каким бы ни было , поскольку, как мы видели,  всегда образует векторную решетку по отношению включения (см. § 6)  [т. е. ], для которого можно всегда рассматривать  и .

Подгруппоиды. Любое подмножество , замкнутое относительно закона , называется подгруппоидом группоида  и обозначается  или , если не возникает путаницы.