58. Понятие категории

Категория  есть множество объектов, таких, что для любой упорядоченной пары , ,  существует множество морфизмов  из  в , обладающих определенным свойством и обозначаемых  (допускается возможность, что множество  может быть пустым). Эти морфизмы называются -морфизмами и обладают по определению следующими свойствами:

1.  тогда и только тогда, когда .      (58.1)

2. Предполагается, что морфизм  из  в  сочетается посредством закона композиции  с морфизмом  из  в  (, , ) так, что получается морфизм  из  в . Закон , конечно, должен быть определен. Если , , то .

3. Предполагается, что если ,  и , то

.                        (58.2)

Другими словами, закон композиции ассоциативен.

4. Предполагается, что для любого  существует морфизм, представляющий собой тождественное отображение  на себя. Этот морфизм (обозначается  или 1) таков, что для любых

 и

имеет место

 и .                (58.3)

Понятие категории очень широко распространено в математике. К категориям относятся следующие понятия:

- группа с групповыми морфизмами: группа, обозначаемая , где  - множество, имеющее структуру группы,  - закон группы;

- множества и отображения между ними;

- решетки с морфизмами решеток; решетки обозначаются  где  - множество, имеющее конфигурацию решетки,  - отношение порядка на решетке. Решетка может также определяться как , где  и  - законы, определенные посредством понятий нижней и верхней границ подмножества множества  соответственно;

- полурешетки  или ;

- топологические пространства с непрерывными отображениями;

- измеримые пространства с измеримыми преобразованиями; и т. д.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 - очень простой и легко вычислимый.

Пусть  и  - два упорядоченных множества (рис. 58.1).

Рис. 58.1.

Они представляют собой две верхние полурешетки  и  и составляют множество объектов категории , изучением которой мы сейчас займемся.

Эти две верхние полурешетки можно также рассматривать как структуризованные множества, на которых определены операции  и  взятия верхней грани двух упорядоченных пар элементов из  и  соответственно (рис. 58.2).

Рис. 58.2.

На рис. 58.3 приведены четыре множества: , ,  и . Категория, образованная двумя структуризованными множествами , такова, что

              (58.4)

Рис. 58.3.

Тождественное отображение  на себя - это  и тождественное отображение  на себя - это . Имеем

              (58.5)

Заметим, что не все  могут сочетаться с  для обычного закона композиции отношений; на диаграмме (рис. 58.4) приведены следующие результаты:

                              (58.6)

Рис. 55.4.

Категория  дает все -морфизмы, существующие между двумя структуризованными множествами  и  или каждым из этих множеств и им самим. Другими словами, категория дает все возможные функции, которые существуют между элементами упорядоченных пар , .

Пример 2. Рассмотрим все конечные группы, состоящие из четырех и менее элементов. Известно, что существует

1 группа с 1 элементом;

1 группа с 2 элементами;

1группа с 3 элементами;

2группы с 4 элементами.

Эти пять групп

                        (58.7)

представлены на рис. 58.5-58.9. Для каждой из этих групп через  обозначена единица.

Рис. 58.5.

Рис. 58.6.

Рис. 58.7.

Рис. 58.8.

Рис. 58.9.

Перейдем к изучению категории, образованной множеством из этих пяти групп. Рассматриваемые здесь морфизмы должны удовлетворять условию

, ,                     (58.8)

где  - морфизм  в .

Перечислим все морфизмы между конечными группами четырех или более элементов.

На рис. 58.10 представлена перечислительная процедура составления лексикографического списка без пропусков и повторений. Морфизмы обозначены  ; отображения-морфизмы отмечаются .

Рис. 58.10 (начало)

Рис. 58.10 (продолжение)

Рис. 58.10 (продолжение)

Рис. 58.10 (окончание)

Эту процедуру перенумерации можно легко запрограммировать для расчетов на ЭВМ.

На рис. 58.11 наглядно изображена категория групп, имеющих самое большее четыре элемента, в этой категории всего 59 морфизмов.

Рис. 58.11 (начало)

Рис. 58.11 (окончание)

Относительно этих морфизмов можно получить все возможные подгруппы этой группы, имеющие самое большее четыре элемента. Композиция всех этих морфизмов определяется внутренним законом; он ассоциативен и в согласии с определением (58.3) существует единица.

Пример 3. Рассмотрим множество объектов, представляющих собой интервалы

, где , , ,                      (58.9)

т. е. множество замкнутых интервалов в континууме .

 имеет структуру полного порядка для отношения

 тогда и только тогда, когда  или ,                               (58.10)

и операцию  можно рассматривать как не всюду определенную операцию, полученную относительно отношения порядка (58.9).

Каждой упорядоченной паре , где  и  определены согласно определению (58.9), можно сопоставить множество морфизмов  в , обладающих всеми свойствами функций (см. рис. 58.12 и 58.13).

Все эти функции удовлетворяют условиям (58.1)-(58.3).

Рис. 58.12.

Рис. 58.13.

В этом случае множество объектов , составленное всеми закрытыми интервалами в , образует категорию  для операции , соответствующей индуцированному порядку.

Аналогично можно определить категорию для областей ,  и т. д.