59. Нечеткие C-морфизмы

Начнем с примера. Рассмотрим две конечные группы с четырьмя элементами и , изображенные на рис. 58.8 и 58.9. Для удобства мы повторим их еще раз на рис. 59.1 и 59.2. На рис. 59.3 представлено множество , приведенное в качестве упражнения в примере 2 § 58. Если морфизмы в обозначить через , , то универсальное множество морфизмов в можно записать в виде

. (59.1)

Рис. 59.1.

Рис. 59.2.

Рис. 59.3.

Сначала рассмотрим нечеткие подмножества морфизмов в смысле Заде (т. е. принимая в качестве множества принадлежностей), обобщение будет сделано позже. Нечеткое подмножество задается как

, (59.2)

где

, (59.3)

, , (59.4)

- соответственно универсальное множество и функция принадлежностей, которыми определяется нечеткое подмножество .

Так определенное подмножество назовем нечетким морфизмом в .

На множестве нечетких морфизмов целесообразно определить те же операции, которые были определены на нечетких подмножествах. Теперь можно видеть, как понятие обычного морфизма обобщается до понятия нечеткого морфизма.

После этого вводного примера перейдем к общему определению.

Определение. Пусть - категория и ; тогда -нечетким -морфизмом в будет называться -подмножество обычных -морфизмов в . Если обозначить множество или универсальное множество морфизмов в через , т. е. , то -нечетким -морфизмом в будет элемент

. (59.5)

Этот -нечеткий -морфизм обозначим

. (59.6)

В рассматриваемом здесь общем случае может быть не только интервалом , но и, как мы указывали в § 55, обычным предпорядком, нижней полурешеткой, решеткой, кольцом или любой структурой, удовлетворяющей (53.16)-(53.18).

Множество всех нечетких морфизмов, существующих в категории (множество, которое может быть конечным или нет, в зависимости от природы ), определяет то, что называют нечеткой категорией , связанной с категорией , при том условии, что каждому ставится в соответствие определенное структуризованное множество .

Чтобы изучить, что представляет собой -нечеткий -морфизм (59.5), обратимся опять к примеру, приведенному в начале параграфа.

Пусть

и (59.7)

(см. рис. 59.3) и

, (59.8)

т. е. здесь задан полный порядок трех числовых величин: .

В нашем случае существует нечеткий морфизм в и представляет собой множество из 81 морфизма. Выпишем для примера один из них:

. (59.9)

Композиция нечетких морфизмов. Рассмотрим два нечетких морфизма и , где множество , такое, что

, (59.10)

. (59.11)

Каждое нечеткое подмножество может быть взято в композиции с каждым нечетким подмножеством согласно закону композиции , определенному для морфизмов; это дает

. (59.12)

Тогда нечеткое подмножество

(59.13)

определяет композицию с .

Первый пример прояснит содержание этой сложной формулы.

Пример 1. Вернемся к рис. 59.1-59.3 и предположим, что

. (59.14)

Рассмотрим универсальное множество

, (59.15)

и пусть

, (59.16)

(59.17)

есть два нечетких морфизма.

Закон композиции согласно определению (57.37) - это обычный закон композиции двух отношений; с его помощью можно рассчитать композицию каждого с каждым .

Из рис. 59.3 можно легко видеть, что мы имеем

(59.18)

Чтобы облегчить понимание способа, которым рассчитывались эти композиции на рис. 59.4, приведем пример для .

Рис. 59.4.

Теперь для каждой упорядоченной пары подсчитаем :

(59.19)

Далее для каждого , , подсчитаем

Получим соответственно

(59.20)

И, наконец,

. (59.21)

Замечание. Разумеется, для подсчета композиции и необходимо, чтобы все допускали композицию со всеми и чтобы в композиции и каждое отображение получалось по крайней мере один раз.

Пример 2. Мы покажем, что если , то формула (59.13) приводит к обычной композиции двух обычных подмножеств морфизмов.

Опять воспользуемся примером с рис. 59.1-59.3. Пусть

, (59.22)

. (59.23)

Применение установленных выше правил дает

. (59.24)

Заметим, что если и содержат только по одному элементу, то композиция и приводит к обычной композиции соответствующих единственных элементов с их степенями принадлежности. Таким образом,

(59.25)

(59.26)

дают

, (59.27)

что сводится к композиции .

Пример 3. Вернемся снова к примеру 1, в котором рассматривались две группы и , но на этот раз вместо интервала для рассмотрим конечную дистрибутивную решетку (рис. 59.5). На рис. 59.6 представлены таблицы для операций и .

Рис. 59.5.

Рис. 59.6.

Рассмотрим два нечетких морфизма универсального множества

, (59.28)

, (59.29)

. (59.30)

Формулы (59.18) не изменятся, но формулы (59.19) станут, очевидно, другими, однако мы используем те же самые обозначения. Для каждой упорядоченной пары рассчитаем :

(59.31)

Теперь для каждого , , оценим

Последовательно найдем для

(59.32)

И, наконец,

. (59.33)

Замечание. Здесь можно сделать то же замечание, какое было сделано после вывода композиции (59.21).

Пример 4. Рассмотрим опять пример 3 из § 58. Там мы имели дело с категорией всех интервалов , , , где морфизмы были функциями, которые ставили в соответствие .

Теперь рассмотрим упорядоченную пару , где , и аналогично , . Если - функция из в , будем писать

. (59.34)

Теперь пусть - множество всех таких функций ( не конечное множество, но это не имеет значения). Возьмем множество , которое, как уже указывалось, в § 54, может быть решеткой, кольцом и т. д.

Тогда множество определит множество -нечетких -морфизмов

. (59.35)

Теперь можно найти композицию и :

, (59.36)

, (59.37)

используя

. (59.38)

Таким образом,

, (59.39)

т. е. определена композиция с .

Обобщение композиции -нечетких -морфизмов.

Формулу (59.13) можно обобщить. Закон композиции обычных морфизмов будет обозначаться ; таким образом, , . Пусть есть закон для , который по предположению ассоциативен:

. (59.40)

Заменим определение (59.13) на

. (59.41)

Символ (объединение по всем и , дающим ) здесь введен потому, что различные и могут привести к одному и тому же .

В таком представлении закон композиции обычных морфизмов может отличаться от закона композиции, определенного в (57.39), но поскольку рассматриваемый здесь морфизм - это -морфизм, то, как указано в (58.2) и (58.3), закон о ассоциативен и существует единица.

Свойства -нечетких -морфизмов. Исследуем несколько свойств -нечетких -морфизмов.

Ассоциативность. Пусть

, (59.42)

тогда

. (59.43)

Доказательство довольно простое:

(59.44)

Поскольку по нашему предположению закон ассоциативен (ведь мы рассматриваем -морфизмы), то , с другой стороны, опять же по предположению, на также определен ассоциативный закон , следовательно, можно записать

(59.45)

Существование единиц. Существует правая единица , где , такая что

, (59.46)

и существует левая единица , такая, что

. (59.47)

Выпишем эти единицы:

, (59.48)

. (59.49)

Можем записать

(59.50)

что фактически и доказывает утверждение (59.46).

Аналогично можно доказать утверждение (59.47).

Нечеткая категория. Так как - такие нечеткие подмножества, что их композиция ассоциативна и в силу определений (58.2) и (58.3) существуют левая и правая единицы, то для -нечетких -морфизмов можно определить нечеткую категорию таких объектов, как .

Таким образом, обычная категория - только частный случай нечеткой категории. Эту нечеткую категорию обозначим

. (59.51)

Обычная подкатегория. Вспомним приведенное в начале § 58 определение понятия категории.

Пусть - множество объектов и - множество морфизмов. Если и - соответствующие морфизмы, то категория относительно будет называться обычной подкатегорией; в этом случае будем писать

. (59.52)

Нечеткая подкатегория. Если - множество объектов и - множество нечетких морфизмов и если и , то нечеткая категория , связанная с , называется нечеткой подкатегорией.