Приложение А. Общая схема доказательств для операций, связанных с max и min

В различных местах книги мы обошли некоторые доказательства, касающиеся операций «максимальный из...» или «минимальный из ...». Это было сделано в связи с тем, что такие доказательства можно получить как непосредственные следствия из свойств верхней или/и нижней границы решетки.

Пусть  - операция взятия нижней границы, а  - верхней границы двух элементов  решетки. В решетке выполняются четыре двойственных свойства этих операций, рассмотренные в (54.2)-(54.9):

К тому же, если решетка дистрибутивная [см. (54.18) и (54.19)], то справедливо и свойство

Если решетка с дополнениями [см. (54.20), и (54.21)], то справедливо и свойство

Рассмотрим несколько примеров систематического доказательства различных формул.

Случай  охватывает все нечеткие подмножества в смысле Заде.

Вполне упорядоченное множество  представляет собой дистрибутивную решетку, но без дополнений. Следовательно, все свойства (А.1)-(А.10) удовлетворяются и  можно обозначить через , а  - через ; нижнюю границу можно называть минимумом, а верхнюю границу - максимумом.

Пусть мы хотим доказать равенство (7.24), т. е.

.               (А.13)

Для этого надо проверить, что для

.                      (А.14)

А так как  - дистрибутивная решетка, то это равенство справедливо.

Рассмотрим более сложный случай и докажем свойство дистрибутивности (13.15):

.            (А.15)

Это равенство справедливо, если для

, ,

и отношений

, ,

выполняется

.                      (A.16)

Распишем члены уравнения (А.16):

   (A.17)

                (A.18)

               (A.19)

Для упрощения записи положим

, , , .                    (A.20)

Тогда отношения (A.17)-(A.19) можно записать в виде

,                (А.21)

,                      (А.22)

.                     (А.23)

Теперь в силу ассоциативности операции  имеем

             (A.24)

Сравнивая соотношения (А.21) и (А.24) и используя свойство дистрибутивности

, ,                   (А.25)

действительно имеем

             (A.26)

что и доказывает справедливость равенства (А.13).

Проведем доказательство (13.16), т. е. докажем, что закон  относительно операции пересечения не дистрибутивен:

.                        (А.27)

Воспользуемся теми же обозначениями, что и в (А.13). Поскольку надо доказать, что для некоторых ,  и  свойство дистрибутивности не выполняется, то мы ограничимся универсальным множеством, в котором  в (А.27). Имеем

,              (А.28)

.             (А.29)

Надо показать, что (А.28) и (А.29) - это разные величины; для этого запишем

                  (А.30)

                        (А.31)

Теперь справедливость неравенства устанавливается в результате сокращений, так как

.                       (А.32)