9.2. Выбор сигналов и помехоустойчивых кодов

Эффективность систем передачи дискретных сообщений можно существенно повысить путем применения многопозиционных сигналов и корректирующих кодов.

9.2.1. Многопозиционные сигналы

Ансамбль сигналов , где , на отрезке  можно представить в виде [5, 21, 32]:

.

(9.14)

Здесь          -число отсчетов на интервале , а  – система базисных ортонормированных функций:

.

(9.15)

Геометрически каждому сигналу ансамбля  соответствует точка (или вектор) в -мерном пространстве с координатами (). В соответствии с формулой (1.8), энергия сигнала

,

(9.16)

а расстояние (1.42) между сигналами

,

(9.17)

где

,

(9.18)

коэффициент взаимной корреляции рассматриваемых сигналов.

На рис. 9.2 приведены -диаграммы для некоторых ансамблей многопозиционных сигналов. Центральное место на рис. 9.2 занимают кривые для систем с сигналами ФМн-4, которые относятся к классу многопозиционных при . В цифровых сетях система ФМн-4 является наиболее распространенной и принята в качестве стандарта, поэтому при сравнительной оценке эффективности систем она принята за эталон. Если начало координат перенести в точку, соответствующую ФМн-4, то в новой системе координат по вертикальной оси будет отсчитываться энергетический выигрыш  рассматриваемых систем по сравнению с ФМн-4, а по горизонтальной оси – выигрыш  по удельной скорости. В этой системе координат все возможные системы связи можно условно разделить на четыре группы, соответствующие четырем квадрантам на плоскости.

Малоэффективные системы (III квадрант), имеющие относительно ФМн-4 проигрыш по  и , например, АМн-2, ЧМн-2. Системы с высокой энергетической эффективностью (II квадрант), обеспечивающие выигрыш по  и проигрыш по  (системы с корректирующими кодами). Системы с высокой частотной эффективностью (IV квадрант), обеспечивающие выигрыш по  и проигрыш по  (системы с многопозиционными ФМн и АФМ сигналами). Высокоэффективные системы (I квадрант), позволяющие получить одновременно выигрыш по обоим показателям  и  на основе применения сложных сигнально-кодовых конструкций).

Можно выделить также два класса многопозиционных сигналов. К первому отнесем так называемые «плотные» сигналы, когда с ростом объема ансамбля  при фиксированной размерности  расстояние между сигнальными точками уменьшается, а удельная скорость  возрастает при соответствующем снижении энергетической эффективности . Примерами таких сигналов служат многопозиционные ФМн и АФМ.

Примером сигналов, у которых сигнальные векторы располагаются на прямой, являются двоичные противоположные сигналы ФМн-2 (рис. 9.3). Им соответствует два симметрично расположенных относительно начала координат вектора длиной . Расстояние между сигналами , а коэффициент корреляции .

К этому же классу относятся и широко используемые сигналы с фазовой манипуляцией и числом позиций  (рис. 9.4). Сигналы ФМн-4 имеют одинаковые энергии, а сигнальные точки располагаются на одинаковом расстоянии от начала координат. На амплитудно-фазовой плоскости они образуют квадратную сеть. Сигналы этого ансамбля отличаются только начальными фазами. Расстояние между ближайшими сигнальными точками равно , а между противоположными сигналами .

Многопозиционные сигналы с ФМн-8 образуют круговую сеть с равномерным распределением точек по окружности (рис. 9.5).

Для сигналов АФМ–4 три сигнала равномерно распределены по окружности, а четвертый расположен в центре окружности (рис. 9.6,а).

На рис. 9.6,б показано также расположение сигнальных точек в восьми позиционной системе с амплитудно-фазовой модуляцией (АФМ-8).

Ко второму классу отнесем ортогональные, биортогональные  и симплексные сигналы. Это примеры «разнесенных» сигналов, когда с увеличением  увеличивается расстояние между сигнальными точками и соответственно увеличивается энергетическая эффективность за счет снижения частотной эффективности.

Если сигнальные точки выбрать на линиях, совпадающих с ортогональными областями на расстояниях  от начала координат, то получим систему ортогональных сигналов. Число сигналов в таком ансамбле .

Двоичные ортогональные сигналы являются примером сигналов, у которых сигнальные точки располагаются в плоскости (рис. 9.7).

Им соответствуют два ортогональных вектора на плоскости длиной. Расстояние между сигналами , а коэффициент корреляции .

Если в качестве сигналов взять отрезки гармонических колебаний разных частот , удовлетворяющих условию ортогональности, то получим сигналы многочастотной модуляции (МЧМ). Ортогональные сигналы образуют эквидистантную систему; расстояния между любыми двумя сигнальными точками одинаковы: . Перспективным вариантом ЧМн сигналов являются частотно-манипулированные сигналы с непрерывной фазой.

Биортогональные сигналы образуются путем добавления к каждому ортогональному сигналу противоположного. При этом общее число сигналов удваивается: .

Симплексные сигналы отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии. В -мерном пространстве они образуют правильный симплекс с числом вершин . В двумерном пространстве сигнальные точки лежат в вершинах равностороннего треугольника (рис. 9.8). Расстояние между сигнальными точками симплексного ансамбля . При  симплексные сигналы совпадают с противоположными. Для ансамблей с большим объемом  () симплексные сигналы по своим свойствам и в частности по помехоустойчивости близки к ортогональным .

Построение ансамблей многопозиционных сигналов можно осуществить и на основе двоичных последовательностей: для этого можно использовать элементарную матрицу Уолша–Адамара (). Формирование матриц высшего порядка подчинено следующему правилу: матрица младшего порядка трижды повторяется в позитивной и один раз в негативной форме. При достижении размерности матрицы , она уже представляет собой ансамбль многопозиционных ортогональных сигналов с  [5, 21]:

,  ,  .

(9.19)

Каждая строка этой матрицы (последовательность двоичных символов) образует один сигнал; нетрудно убедиться в том, что строки (столбцы) этой матрицы взаимно ортогональны. Дополняя матрицу  инверсиями строк, можно получить матрицу , представляющую ансамбль  биортогональных сигналов:

.

(9.20)

Ансамбли с большим числом сигналов строятся аналогично. В асинхронно-адресных системах широко используются ансамбли «почти ортогональных» сигналов, которые также формируются на основе двоичных последовательностей. Это известные рекуррентные псевдослучайные  и -последовательности.

Приведенные на рис. 9.2 кривые позволяют количественно оценить обменный выигрыш (проигрыш) различных систем. Так, применение многопозиционных АФМ сигналов с  позволяет получить частотный выигрыш в 2 раза ( дБ) в обмен на снижение энергетического выигрыша  более чем на 4 дБ. Получить энергетический выигрыш в обмен на снижение удельной скорости можно с помощью ортогональных и биортогональных сигналов.