9.4.2. Согласование на основе разбиения ансамбля на вложенные подансамбли

В начале 80 х гг. Унгербоек (Ungerboeck G.) опубликовал статью, в которой, анализируя СКК на базе ансамбля ФМн-8 и сверточного кода со скоростью , сформулировал ряд правил построения СКК. Поэтому СКК построенные по этим правилам (Trellis-Coded Modulation – ТСМ), часто называют СКК Унгербоека.

По способу согласования модуляции и кодирования СКК Унгербоека относятся к конструкциям, полученным на основе разбиения ансамбля сигналов на вложенные подансамбли. Разбиение осуществляется таким образом, что подансамбли содержат равное количество сигналов, расстояния  между соседними сигналами подансамблей одинаковы, минимальные расстояния  между сигналами подансамблей увеличиваются с каждым шагом разбиения; при этом левая ветвь разбиения кодируется символом «0», а правая «1». Считывание кодовой комбинации, соответствующей сигнальной точке на амплитудно-фазовой плоскости, осуществляется снизу вверх. Разбиение для ансамбля сигналов ФМн-8 представлено на рис. 9.12.

Как следует из рис. 9.12, исходный ансамбль разбивается на подансамбли при максимальном увеличении наименьших расстояний  между сигналами внутри подансамблей . Разбиение осуществляется поэтапно. В данном примере три этапа, заключающихся в разбиении каждого из подансамблей предыдущего этапа на 2 равноэлементных подансамбля.

В общем случае количество этапов  полного разбиения ансамбля из  сигналов на вложенные подансамбли определяется выражением:

,

(9.22)

т. е. совпадает с кратностью ансамбля .

В ансамбле из  сигналов кратности  каждой сигнальной точке соответствует блок двоичных символов . Соответствие между кодовым блоком  и сигнальной точкой на плоскости определяет манипуляционный код.

Достижение наибольшей помехоустойчивости непосредственно связано с увеличением евклидова расстояния между передаваемыми сигнальными последовательностями. Решетчатая диаграмма сверточного кода (5.6.3), ребра которой промаркированы сигнальными точками, полностью отображает весь набор разрешенных сигнальных последовательностей. Таким образом, величина свободного евклидова расстояния  зависит от маркировки ребер решетчатой диаграммы сигнальными точками (канальными символами).

Унгербоек на примере ансамбля сигналов ФМн-8 (см. рис. 9.12) сформулировал четыре необходимых правила маркировки ребер сигнальными точками:

• все сигнальные точки используемого ансамбля сигналов должны встречаться с одинаковой частотой и с определенной степенью регулярности и симметричности;
• переходы из одного и того же состояния соответствуют сигналам из подансамблей  или ;
• переходы в одно и то же состояние соответствуют сигналам из подансамблей  или ;
• параллельные переходы между состояниями соответствуют сигналам из подансамблей  или , или , или .

Как показывает анализ, СКК Унгербоека имеют несколько более высокие частотно энергетические характеристики по сравнению с традиционными СКК, при той же сложности реализации. Это определило их бурное внедрение в технике связи. Но известные правила построения СКК Унгербоека, хотя и снижают размерность переборной задачи синтеза, но не обеспечивают гарантированное построение СКК с максимальными частотно-энергетическими характеристиками. В то же время, основной целью работ в области синтеза систем сигналов и СКК является поиск таких способов их формирования и обработки, которые при заданных ограничениях на сложность устройств формирования и приема, временные задержки, позволяли бы приблизиться к известной шенноновской границе.

При построении многомерных СКК возникает проблема выбора манипуляционного кода, поскольку известные методы его построения (правила построения кодов Грея и разбиения ансамбля на вложенные подансамбли Унгербоека) не всегда позволяют согласовать евклидовы и хемминговы расстояния. Именно с этим связаны многие проблемы построения многомерных СКК.

Синтез многопозиционных ансамблей сигналов и СКК, построенных на их основе, является одним из направлений решения более общей задачи статистического согласования вероятностных характеристик передаваемого информационного сигнала и вероятностных характеристик канала. В рамках этих традиционных задач, такое согласование осуществляется на уровне канальных символов или их блоков (супербукв канала). При этом подходы к построению алфавита таких супербукв (ансамблей сигналов и СКК) могут существенно отличаться между собой, но направлены на решение этой общей проблемы.

Известно, что ансамбль сигналов, соответствующий полному двоичному коду длины  в пространстве соответствующей размерности , построенный заменой «1» на «–1», а «0» на «+1», соответственно, обладает практически идеальным манипуляционным кодом. Минимальным хемминговым расстояниям таких ансамблей соответствуют ребра -мерного куба, которые характеризуются и минимальными евклидовыми расстояниями.

Кодовые комбинации и соответствующие им координаты сигнальных векторов приведены в табл. 9.5; графическое изображение ансамбля представлено на рис. 9.13.

При приеме сигналов такого ансамбля минимальная ошибка (ошибочный прием одной координаты сигнальной точки) приводит к неправильному приему одного бита информации. Ошибочный прием двух координат сигнальной точки приводит к искажению двух бит информации и так далее. Однако, если рассмотреть зависимость между хемминговыми  и евклидовыми  расстояниями для такого ансамбля, то можно выявить следующую закономерность, связывающую эти две величины [5, 32]:

,

(9.23)

где  – радиус сферы.

Таблица 9.5. Взаимосвязь кодовых комбинаций манипуляционного кода и координат  сигнальных векторов

Манипуляционный код	Координаты сигнальных векторов
000	+1,+1,+1
001	+1,+1,–1
010	+1,–1+1
011	+1,–1,–1
100	–1,+1,+1
101	–1,+1,–1
110	–1,–1,+1
111	–1,–1,–1

Таким образом, взаимосвязь между евклидовыми и хемминговыми расстояниями в многомерном ансамбле сигналов нелинейная, хотя большему хемминговому расстоянию будет соответствовать большее евклидово расстояние.

Если мощность и энергия сигналов являются постоянными величинами, не зависящими от номера, то ансамбли таких сигналов считают сигналами поверхностно-сферической упаковки.

В противном случае ансамбли сигналов рассматривают как объемные упаковки. Сохранение манипуляционного кода, принятого для простого трехмерного куба, в значительной мере сохраняет пропорциональность между евклидовыми и хемминговыми расстояниями и поэтому будет наилучшим и для наиболее плотного ансамбля. Для других комбинаций манипуляционных кодов для сигнальных векторов изначально не будет соблюдаться взаимная пропорциональность между евклидовыми и хемминговыми расстояниями.

Таким образом, практически невозможно создать идеальный манипуляционный код и, следовательно, целесообразно строить манипуляционные коды, у которых хотя бы частично выполняется взаимосвязь между евклидовыми и хемминговыми расстояниями.