9.5. Алгоритмы цифровой обработки сигналов

9.5.1. Дискретные сигналы и их спектры

Дискретизация непрерывного сигнала. С аналитической точки зрения процедуру получения дискретизированного (дискретного) сигнала  удобно рассматривать как непосредственное умножение непрерывного сигнала  на вспомогательную последовательность  дискретизирующих прямоугольных импульсов единичной амплитуды

.

(9.24)

Длительность дискретизирующих импульсов  должна быть много меньше интервала дискретизации .

Принцип формирования дискретного сигнала показан на рис. 7.7, б…в, где изображены графики функций . При этом реальный дискретный сигнал  имеет вид импульсно-модулированного колебания, т. е. АИМ-сигнала.

Рис.9.14. Дискретизация сигналов

Спектр дискретного сигнала. Чтобы дать оценку требованиям к длительности дискретизирующих импульсов, определим спектральный состав дискретного сигнала . Пусть некоторый непрерывный сигнал  имеет спектральную плотность . Представим последовательность дискретизирующих прямоугольных импульсов  рядом Фурье, в котором частота :

,

(9.25)

где

.

(9.26)

Подставив формулу (9.25) в (9.24), получим

.

(9.27)

Проанализируем первое и второе слагаемые этого выражения отдельно. Первому слагаемому соответствует спектральная плотность  исходного сигнала . К произведению  второго слагаемого применим прямое преобразование Фурье. Используя формулу Эйлера и проведя несложные математические выкладки, запишем

В этом выражении первый интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала  на частотах а второй - ту же спектральную плотность, но на частотах . Поэтому

.

(9.28)

Следовательно, дискретному сигналу вида (9.27) соответствует спектральная плотность

.

(9.29)

Поскольку при  коэффициент , запишем

.

(9.30)

График спектра дискретного сигнала, полученного из непрерывного, показан на рис.9.15,б.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

• спектральная плотность  дискретного сигнала  представляет собой бесконечную последовательность спектральных плотностей  исходного непрерывного сигнала , сдвинутых друг относительно друга на частоту ;
• огибающая спектральной плотности  дискретного сигнала  с точностью до коэффициента  повторяет огибающую спектральной плотности дискретизирующего прямоугольного импульса.

Чтобы восстановить непрерывный сигнал  из дискретного , достаточно выделить центральную часть спектра . На практике это осуществляют с помощью идеального ФНЧ, имеющим коэффициент передачи

,      .

(9.31)

Вместе с тем известно, что идеальный ФНЧ физически нереализуем и может служить лишь теоретической моделью для пояснения принципа восстановления непрерывного сигнала на основе теоремы Котельникова. Реальный ФНЧ имеет частотную характеристику, которая либо охватывает несколько лепестков спектра (штрих - пунктирная линия на рис. 9.15,б), либо имеет конечную крутизну ската характеристики и не полностью охватывает центральный лепесток. В практических схемах интервал дискретизации, определяемый формулой , уменьшают в 2...5 раз. В этом случае отдельные составляющие спектра дискретного сигнала не перекрываются, как это и показано на рис. 9.15, б, и могут быть разделены фильтрами.

При уменьшении длительности дискретизирующего импульса , амплитуды спектральных составляющих с ростом частоты убывают медленнее. В предельном случае, при  спектр дискретного сигнала будет представлять собой бесконечную последовательность «копий» спектров исходного сигнала, имеющих равную амплитуду. Если одновременно с уменьшением длительности увеличивать амплитуду импульса так, чтобы его площадь оставалась неизменной и равной единице, то дискретизирующие сигналы преобразуются в последовательность дельта-функций:

.

В этом случае формула (9.24) запишется следующим образом:

.

(9.32)

Спектральная плотность дискретного сигнала в этом случае примет вид:

.

(9.33)

Пример 9.1. Непрерывный сигнал, имеющий форму прямоугольного импульса напряжения с единичной амплитудой и длительностью , дискретизирован 10 отсчетами. Определить спектр дискретного сигнала.

Решение. Для нахождения спектра воспользуемся формулой (9.33). В ней частота , а интервал дискретизации . Тогда

.

Возможность представления дискретных сигналов  в форме (9.32) существенно упрощает их анализ. В частности, спектральную плотность  можно вычислить непосредственно по совокупности временных отсчетов . Действительно, применив прямое преобразование Фурье  к соотношению (9.32) для отсчетов только с положительными номерами , со, получим с учетом фильтрующего свойства дельта-функции:

.

(9.34)

При этом существенно сокращается время обработки реальных непрерывных сигналов.