5.3. Математические основы теории помехоустойчивого кодирования

Основой построения наиболее важных из известных кодов является их алгебраическая структура, которая облегчает изучение различных свойств кода, а также обеспечивает возможность практической реализации кодирующих и декодирующих устройств.

В данном разделе излагаются основные понятия алгебры, необходимые для изучения теории помехоустойчивых кодов. Основные теоремы приводятся без доказательств. Заинтересованный читатель найдет их в [25, 26, 30, 33].

Важнейшими объектами изучения в алгебре являются алгебраические системы, т.е. множества, в которых определены одна или несколько операций, таких, например, как сложение или умножение. Под операцией в общем случае подразумевается однозначная функция двух переменных, которая может быть записана в виде , где  – знак операции. Примерами алгебраических систем являются группы, кольца, поля и др. Их свойства рассматриваются в настоящем разделе.