5.9. Помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений

5.9.1. Две процедуры приема сигналов

При использовании помехоустойчивых кодов передаваемые сообщения  предварительно дискретизируются по уровню и по времени. В интервале кодового слова  передается одно из дискретных сообщений . Для передачи используется, соответственно,  разных сигналов .

Принимаемый сигнал  во многих случаях можно представить в виде суммы

, .

(5.42)

полезного сигнала и аддитивного гауссовского белого шума  со спектральной плотностью . Задача приема заключается в том, чтобы по наблюдениям  входного процесса  на интервале  определить, какой из сигналов  был передан.

Выбор наилучшего (оптимального) приемника требует введения критерия, на основе которого можно сравнивать качество различных методов. В рассматриваемом случае передачи дискретных сообщений таким критерием качества может служить вероятность ошибки, т.е. вероятность того, что после анализа реализации  входного процесса, содержащей сигнал , будет принято неверное решение о передаче сигнала .

Оптимальный приемник обеспечивает минимальную вероятность ошибки или, что то же самое, максимальную вероятность правильного решения , вычисленную для данной реализации (максимальную апостериорную вероятность сигнала ).

Введенный критерий качества позволяет указать наилучший способ обработки реализации входного процесса. Действительно, необходимо вычислить все апостериорные вероятности  и сравнить их между собой. Затем следует выбрать сигнал , апостериорная вероятность  которого максимальна, а вероятность ошибки  минимальна. Для вычисления  воспользуемся формулой Байеса

,

(5.43)

где    – априорная вероятность использования сигнала  для передачи сообщения;  и  – безусловная и условная плотности распределения вероятностей , которые при известной (принятой) реализации входного процесса  превращаются в конкретные числа. Величина  не зависит от  и может не учитываться при сравнении апостериорных вероятностей. Напротив, функция  играет основную роль в задаче построения оптимального приемника. Эта функция после подстановки отрезка реализации  входного процесса зависит лишь от переданного сигнала  и называется функцией правдоподобия.

Для того чтобы подчеркнуть, что после приема сигнала и подстановки  не является плотностью распределения, введем ее новое обозначение:

.

Таким образом, оптимальный прием может быть осуществлен на основе вычисления  и выбора максимального значения произведения  При равных вероятностях , оптимальный прием базируется на вычислении лишь функции правдоподобия и определении ее максимума. Такой приемник называется приемником максимального правдоподобия.

Из статистической радиотехники [20] известно, что для модели (5.42)

.

Максимум функции правдоподобия достигается при таком сигнале , для которого минимально значение интеграла

.

(5.44)

Полученный результат имеет ясную геометрическую трактовку. Действительно,  является расстоянием между функциями  и  в гильбертовом пространстве со среднеквадратической метрикой. С этой точки зрения оптимальное решение по наблюдениям  заключается в выборе такого из возможных переданных сигналов , который находится ближе других к . Рис 5.13 иллюстрирует оптимальный выбор .

Преобразуем теперь (5.44) к следующему виду:

.

Первый интеграл не зависит от , а при равных энергиях сигналов  минимум  достигается при максимальном значении корреляционного интеграла:

.

(5.45)

Структурная схема приемника (рис. 5.14), использующего вычисления по формуле (5.45), включает набор корреляторов и блок выбора наибольшего из чисел .

На выходе приемника вырабатывается наилучшая с точки зрения минимума вероятности ошибки оценка  переданного сообщения по принятой реализации . Рассмотренную процедуру называют приемом сигналов в целом.

 

При переходе к кодам значительной длины число используемых в системе сигналов и соответствующее число корреляторов растет очень быстро , и сложность всего устройства может оказаться неприемлемо большой.

Существенного упрощения можно достичь, используя посимвольный прием сигналов, то есть разбивая процедуру приема на две части:

оптимальный прием каждого символа и принятие решения о его значении;

декодирование полученных кодовых слов. В этом случае структура приемника наиболее проста (рис. 5.15).

Для бинарного канала связи приемник содержит два коррелятора, схему сравнения и декодер. На выходе схемы сравнения появляется сигнал «0», если , или сигнал «1», если . Возможно и дальнейшее упрощение схемы за счет объединения двух корреляторов в один, используя в качестве опорного сигнала разность .

Платой за существенное снижение сложности алгоритма при переходе от оптимального к посимвольному приему является увеличение вероятности ошибки. Поэтому нашей очередной задачей будет анализ характеристик рассмотренных алгоритмов и их сравнение при различных видах кодов.