5.9.2. Помехоустойчивость систем передачи информации при оптимальной процедуре приема

Пусть по каналу связи передается сигнал . Очевидно, прием будет правильным, когда выходной сигнал  коррелятора (рис. 5.14) окажется наибольшим. Поэтому вероятность  правильного приема сигнала  может быть найдена как вероятность совместного выполнения системы неравенств . При фиксированном значении  легко находится условная вероятность выполнения этой системы неравенств:

,

где    – условная плотность распределения  при фиксированном .

Безусловная вероятность правильного приема сигналов в системе находится с помощью усреднения  по  и :

.

(5.46)

В общем случае интегрирование (5.46) является сложной математической задачей. Поэтому ограничимся рассмотрением частного случая ортогональных сигналов, а также близких к ним симплексных сигналов, для которых величины  и  независимы. В этом случае совместная плотность распределения может быть записана в виде произведения:

.

Вследствие свойства эквидистантности ортогональных кодов вероятности  равны между собой, следовательно,

,

где    ; ;  – сигнальная составляющая на выходе -го коррелятора;  – дисперсия шумовой составляющей на выходах корреляторов.

Переходя к новым переменным  и , преобразуем выражение для вероятности ошибки к виду:

.

где    – интеграл вероятности. Величина  (отношение сигнал/шум) может быть найдена следующим образом. При действии белого шума выходной сигнал коррелятора совпадает с выходным сигналом согласованного фильтра. Следовательно, можно воспользоваться известной формулой для отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра: , где  – энергия сигнала. В теории связи обычно вводится параметр , характеризующий энергию сигнала на один бит передаваемой информации при числе информационных символов . Окончательно , где  – параметр, принятый в системах связи.

Выражение для вероятности правильного приема сигнала

.

(5.47)

часто называется интегралом В.А. Котельникова. Можно показать, что для симплексных сигналов справедливо следующее выражение:

.

(5.48)

где    – коэффициент корреляции сигналов  и .

Сравнение помехоустойчивости систем передачи информации, использующих разные коды, по величине  не всегда удобно, так как коды могут иметь разное число  информационных символов. С изменением  меняется как , так и количество передаваемой информации. Поэтому вероятность правильного приема приводится к одному биту передаваемой информации, для чего вводят новую характеристику , равную эквивалентной вероятности искажения одного бита информации. Реальный канал связи заменяется эквивалентным каналом без избыточности, но так, чтобы вероятности  были одинаковы в обоих каналах. В системе без избыточности  поэтому

.

(5.49)

Для анализа помехоустойчивости при разных значениях параметра , имеющего смысл приведенного отношения сигнал/шум, по формулам (5.47), (5.48) можно вычислить вероятности  и найти  с помощью (5.49).

На рис. 5.16 сплошными кривыми представлены результаты таких расчетов для случаев  (безызбыточное кодирование), а также симплексных кодов (7,3), (15,4), (1023,10). Как следует из рисунка, с ростом числа  информационных разрядов вероятность  ошибки монотонно падает.

Представляет интерес предел  при , что соответствует переходу ко все более сложным кодам. Для его определения заметим, что функция  при увеличении  приближается по форме к единичному скачку в некоторой точке , значение которой определяется из уравнения  и равно . При  формула (5.47) приводится к виду:

Итак, при возрастании числа  информационных разрядов в коде величина  монотонно падает, если . При достаточно большом  система приобретает пороговый эффект (рис. 5.16, кривая ); при , ; при , .

В диапазоне  возможна передача сообщений со сколь угодно малой вероятностью ошибки. Достигается это только ценою увеличения блока кодируемых информационных символов и соответствующего возрастания времени задержки при кодировании и декодировании, а также сложности оборудования на обеих сторонах системы связи.