3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейеса.

Поставим следующую задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

 Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность  для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

  ,

или, отбрасывая левую часть,

  ,

откуда

  .

Выражая  с помощью формулы полной вероятности (3.4.1), имеем:

  .         (3.5.1)

Формула (3.5.1) и носит название формулы Бейеса или теоремы гипотез.

Пример 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время  равна 0,95; если из деталей обычного качества – его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени  и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение. Возможны две гипотезы:

 - прибор собран из высококачественных деталей,

 - прибор собран из деталей обычного качества.

Вероятность этих гипотез до опыта:

.

В результате опыта наблюдено событие  – прибор безотказно работал время .

Условные вероятности этого события при гипотезах  и  равны:

По формуле (3.5.1) находим вероятность гипотезы  после опыта:

.

Пример 2. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку. 

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

 - ни первый, ни второй стрелок не попадет,

- оба стрелка попадут,

 - первый стрелок попадет, а второй нет,

 - первый стрелок не попадет, а второй попадет.

Вероятность этих гипотез:

Условные вероятности наблюденного события  при этих гипотезах равны:

После опыта гипотезы  и  становятся невозможными, а вероятности гипотез  и  будут равны:

Следовательно, вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку, равна .

Пример 3. Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух различных состояниях  и , случайно переходя из одного в другое. Долговременной практикой установлено, что примерно 30% времени объект находится в состоянии , а 70% - в состоянии . Наблюдательная станция №1 передает ошибочные сведения приблизительно в 2% всех случаев, а наблюдательная станция №2 – в 8%. В какой-то момент времени наблюдательная станция №1 сообщила: объект находится в состоянии , а наблюдательная станция №2: объект находится в состоянии .

Спрашивается: какому из сообщений верить?

Решение. Естественно, верить тому из сообщений, для которого больше вероятность того, что оно соответствует истине. Применим формулу Бейеса. Для этого сделаем гипотезы о состоянии объекта:

 - объект находится в состоянии ,

- объект находится в состоянии .

Наблюденное событие  состоит в следующем: станция №1 сообщила, что объект находится в состоянии , а станция №2 – что он находится в состоянии . Вероятности гипотез до опыта

Найдем условные вероятности наблюденного события  при этих гипотезах. При гипотезе  чтобы произошло событие , нужно, чтобы первая станция передала верное сообщение, а вторая – ошибочное:

.

Аналогично

.

Применяя формулу Бейеса, найдем вероятность того, что истинное состояние объекта - :

,

т.е. из двух сообщений более правдоподобным является сообщение первой станции.